Классы
Предметы
О проекте

Доказательство теоремы о ГМТ

 

Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АB и перпендикулярной прямой AB.
 
Дано: АХ = ВХ, М – середина
Доказать:
Доказательство:
 
 
1). Предположим противное: .Так как точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α, то точка Х и одна из точек А и В также лежат по разные стороны от α. Будем сначала считать, что это точки А и Х. Тогда отрезок АХ пересечет плоскость α в некоторой точке Y.
 
2). Соединим точку Y с точкой В и получим треугольник AYB. В этом треугольнике YM – медиана (по условию М – середина АВ) и (АВ перпендикулярна плоскости, а следовательно, любой прямой в этой плоскости). Тогда имеем два прямоугольных треугольника AMYи BMY, равных по двум катетам. Отсюда,
AY = BY – гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках.
 
3) Из треугольника BXY мы имеем, что BX < BY + XY. Но, по построению АХ = AY + XY. Тогда получается, что BX < AX, а это противоречит условию. Таким образом, предположение  приводит к противоречию, а, следовательно, , что и требовалось доказать.
 

 

Поделиться
Ссылка на страницуCкопироватьЧтобы скопировать ссылку, выделите ее и нажмите [Ctrl] + [C]
http://interneturok.ru/article/textfiles/geometriya-10-klass/dokazatelstvo-teoremy-o-gmt