Классы
Предметы
О проекте

Теорема об общем перпендикуляре

 

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых.
 
Определение: Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, имеющий концы на данных прямых и перпендикулярный к ним.
 
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
 
Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Тогда, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
 
Пусть aи b некоторые скрещивающиеся прямые. Докажем, что существует общий перпендикуляр прямых aи b, и притом только один.
 
Доказательство:
1). Проведем через прямые а и b параллельные плоскости α и β соответственно. Также через прямую а проведем плоскость γ, перпендикулярную плоскости β. Пусть
 
Тогда a || a1 по 1-му утверждению (Если плоскость походит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой) и
 
Поскольку прямая а1 является ортогональной проекцией прямой а на плоскость β, то точка С также является ортогональной проекцией некоторой . Следовательно, Но, тогда  (Поскольку АС перпендикулярен плоскости β, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости) и (С – ортогональная проекция точки А). И, поскольку АС – общий перпендикуляр по определению.
 
2). Докажем единственность общего перпендикуляра прямых а и b. Допустим, что существует другой общий перпендикуляр прямых а и b, например отрезок А1С1, причем 
 
Так как то (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Тогда  и, следовательно,  (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
 
Тогда имеем
следовательно, АС || А1С1 (по обратной теореме: если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). Раз эти прямые параллельны, то точки А, С, А1 и С1 лежат в одной плоскости. А, следовательно, и прямые а и b, которым принадлежат эти точки, лежат в одной плоскости, но это невозможно. Значит, допущение неверно, и общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и b является единственным.
 
Теорема доказана.

 

Поделиться
Ссылка на страницуCкопироватьЧтобы скопировать ссылку, выделите ее и нажмите [Ctrl] + [C]
http://interneturok.ru/article/textfiles/geometriya-10-klass/teorema-ob-obschem-perpendikulyare