Классы
Предметы
О проекте

Возможные варианты расположения рассекаемых прямых

 

Возможные варианты расположения прямых, рассеченных параллельными плоскостями.
 
Пусть даны прямые а и b и три параллельные плоскости α || β || γ, пересекающие эти прямые в точках А, А1, А2, В, В1 и В2 соответственно.
 
Докажем, что АА11А2 = ВВ11В2 вне зависимости от взаимного расположения прямых а и b.
 
Доказательство:
Существует три варианта расположения прямых в пространстве: прямые могут быть параллельны, прямые могут пересекаться и прямые могут скрещиваться.
 
1). Рассмотрим первый случай, когда прямые а и b – параллельны, a || b. По второму свойству параллельных плоскостей отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны между собой. Отсюда, АА1 = ВВ1 и А1А2 = В1В2. То есть, АА11А2 = ВВ11В2.
 
2). Рассмотрим второй случай, когда Тогда пересекающиеся прямые а и b задают плоскость АОВ.
 По первому свойству параллельных плоскостей линии пересечений параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Таким образом, АВ || A1B1 || A2B2.
 
На плоскости АОВ стороны угла АОВ пересекают три параллельные прямые АВ, A1B1 и A2B2. Тогда по теореме Фалеса эти прямые рассекают стороны на пропорциональные отрезки, такие, что АА11А2 = ВВ11В2, что и требовалось доказать.
 
3). Рассмотрим третий случай, когда прямые а и b – скрещивающиеся. Через точку  проведем прямую с || a. Так как прямая а пересекает плоскости α, β и γ, то по лемме и прямая с пересечет эти плоскости в точках С, С1 и С2 соответственно.
 
Так как , то, как мы доказали во втором пункте, СС11С2 = ВВ11В2. А так как а || c, то, как мы доказали в первом пункте, АА1 = СС1 и А1А2 = С1С2. Тогда получается, что АА1:ВВ1 = А1А21В2, что и требовалось доказать.
 
Поделиться
Ссылка на страницуCкопироватьЧтобы скопировать ссылку, выделите ее и нажмите [Ctrl] + [C]
http://interneturok.ru/article/textfiles/geometriya-10-klass/vozmozhnye-varianty-raspolozheniya-rassekaemyh-pryamyh