Классы
Предметы

Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений

Данный урок поможет получить представление о теме «Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений». На этом занятии мы познакомимся с понятием параллелепипеда, дадим им определение (например, ребра параллелепипеда). Затем решим несколько задач по построению сечений.

Введение

Тема: Итоговое повторение курса геометрии 10-го класса

Урок: Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений

Параллелепипед, свойства параллелепипеда

Определение: параллелепипед – многогранник, образованный двумя равными параллелограммами – основаниями, расположенными в параллельных плоскостях (ABCD и ) так, что боковые ребра параллелепипеда равны друг другу (, , , ). В каждой его грани лежат параллелограммы. У параллелепипеда 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер (рис. 1).

Рис. 1

Виды параллелепипеда:

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания (). Все боковые грани – прямоугольники, а в основании – параллелограмм (рис. 2).

Рис. 2

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания () и в основании лежит прямоугольник (рис. 3).

Рис. 3

Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны (ширина, длина и высоты равны друг другу) (рис. 4).

Рис. 4

Опорные факты для построения сечений

Вспомним два опорных факта, с помощью которых производится построение любых сечений.

Если через прямую a, параллельную плоскости  (  ), провести плоскость , пересекающую плоскость  по прямой b, то прямые a и b параллельны (  ) (рис. 4).

Рис. 5

Если две параллельные плоскости  и  (  ), пересекаются третьей плоскостью , то прямые пересечения a и b – параллельны (  ) (рис. 5).

Рис. 6

Свойства параллелепипеда

Рассмотрим сечение параллелепипеда , проходящие через прямые BC и  (рис. 6): в сечении лежит параллелограмм (BC и  равны и параллельны по определению параллелограмма, а  и D1C параллельны между собой по второму опорному факту). Отрезки  и  – диагонали исходного параллелепипеда, а также, диагонали параллелограмма. По свойствам параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда получаем свойства параллелепипеда:

все его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам;

в противоположных гранях параллелепипеда лежат равные параллелограммы.

Рис. 7

В параллелепипеде можно получить такие сечения: шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник и треугольник.

Стандартные задачи на способы построения сечений

Задача 1:

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B, C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (ABC) () (рис. 7).

Рис. 8

Решение (первый способ)

Проводим прямые AB и BC. Точки A, B и B, C лежат и в плоскости сечения и в соответствующих гранях параллелепипеда, поэтому это будут линии пересечения.

Продолжим прямую AB до пересечения с прямой . Получим точку пересечения M.

Точка M лежит в плоскости нижней грани параллелепипеда, значит, можно провести прямую MF параллельно BC. Эта прямая пересечется с ребрами нижнего основания в точках F и E. Линия FE – линия пересечения плоскостью  нижнего основания параллелепипеда. Проведем прямую AF, которая также является линией пересечения.

Согласно первому опорному пункту, проведем прямую CD, параллельную AF. Получим новую точку D – точку пересечения секущей плоскости и ребра параллелепипеда. Соединим точки D и E и получим последнюю линию пересечения DE.

Решение (второй способ)

В данном параллелепипеде есть возможность построения сечения, не используя опорных фактов (рис. 8).

Рис. 9

Достроим прямую AB до пересечения с двумя ребрами, с одной в точке M, а с другой в точке .

Достроим прямую BC до пересечения с другими двумя ребрами, с одной в точке , а с другой в точке .

Точки  и A лежат в плоскости передней грани, и если провести через них прямую, то получим точку F.

Точки  и C лежат в плоскости задней грани, и если провести через них прямую, то получим точку D.

Аналогично можно получить точку E, лежащую на прямых  и MF.

Ответ: получили сечение параллелепипеда – шестиугольник ABCDEF.

Задача 2:

В параллелепипеде  задано три точки: M, N, D. Построить сечение параллелепипеда плоскостью () и определить его вид, если точки M и N – середины ребер  и  соответственно, а точка D – вершина параллелепипеда (рис. 9).

Рис. 10

Решение

Соединяем M и N и получаем линию пересечения грани  и плоскости α.

Из точки D проведем прямую, параллельно MN. Это можно легко сделать, если учесть, что M и N – середины соответствующих ребер, а значит, прямая MN параллельна диагонали , грани . А прямая  параллельна , и, соответственно, параллельна MN.

Соединяем точку M с D и точку N с . Получим сечение .

Ответ: получен четырехугольник , являющийся трапецией (т. к. MN параллельна , а MD не параллельна ).

Выводы:

Были рассмотрено такое понятие, как параллелепипед, изучены его свойства и другие определения (например, ребра параллелепипеда) Также были рассмотрены опорные факты, которые позволяют построить любое сечение, и задачи на способы построения сечений в параллелепипеде.

 

Список литературы по теме "Параллелепипед", "Ребра параллелепипеда", "Построение сечений"

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание на построение параллелепипеда, ребра параллелепипеда, построение сечений

  1. Какие есть виды параллелепипеда?
  2. Какое максимальное количество сторон может иметь многоугольник, лежащий в сечении параллелепипеда?
  3. С помощью какого свойства параллелепипеда иногда проще и быстрее можно построить сечение?
  4. На ребрах параллелепипеда ABCDD1A1B1C1 даны три точки: M на ребре AB, N на ребре BC, K на ребре CC1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNK).

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Я Класс (Источник).
  2. Фестиваль педагогический идей «Открытый урок» (Источник).
  3. Интернет-портал Slideshare.net (Источник).