Классы
Предметы

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Перпендикулярность прямых и плоскостей

Данный урок поможет получить представление о теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». На этом занятии мы познакомимся с понятиями перпендикуляра к плоскости, наклонной к плоскости и проекцией наклонной на плоскость. Затем мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах и решим задачу.

Определение прямой, перпендикулярной плоскости

Определение: прямая  называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна любой прямой из плоскости .

Прямая  перпендикулярна прямой , прямая  параллельна прямой . Тогда имеем две скрещивающиеся прямые  и . Найдем угол между этими скрещивающимися прямыми: необходимо из точки A, провести две прямые: одну – параллельную , вторую – параллельную . Угол между построенными прямыми и будет углом между скрещивающимися прямыми и . Возьмем точку A, лежащую на прямой  и являющуюся точкой пересечения прямой и плоскости. Тогда угол между прямыми  и  равен углу между  и , то есть, прямые перпендикулярны. Значит, если прямая  перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна всем прямым плоскости , причем как проходящим через точку пересечения прямой и плоскости, так и не проходящим (рис. 1).

Рис. 1

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости  есть две пересекающиеся прямые  и  и прямая  перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая  перпендикулярна плоскости  (рис. 2).

Рис. 2

Если прямая перпендикулярна плоскости  и прямая  перпендикулярна плоскости , то прямые  и  параллельны (рис. 3).

Рис. 3

Наклонная к плоскости и ее проекция, угол между наклонной и плоскостью

Определение: если прямая пересекается с плоскостью и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной к плоскости (рис. 4).

Рис. 4

Существует возможность узнать угол между наклонной прямой  и плоскостью . Для этого необходимо провести из точки B, принадлежащей наклонной, перпендикуляр BH к плоскости , а затем соединить точки пересечения плоскости с наклонной и перпендикуляром. Полученный отрезок AH называется проекцией наклонной  на плоскость . Угол между наклонной и ее проекцией на плоскости и называется углом между наклонной и плоскостью () (рис. 5).

Рис. 5

Замечание: если провести любую прямую в плоскости , отличную от проекции, то угол, между проведенной прямой и наклонной всегда будет больше, чем между наклонной и ее проекцией.

Теорема о трех перпендикулярах с доказательством

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая  лежит в плоскости . Наклонная AB проходит через прямую  (). Опустим на плоскость  перпендикуляр BH и получим проекцию AH. Если наклонная AB перпендикулярна прямой  на плоскости , то ее проекция AH тоже перпендикулярна прямой . Обратно: если проекция AH перпендикулярна прямой , то и наклонная AB перпендикулярна  (рис. 6).

Рис. 6

Доказательство:

Дана наклонная AB, перпендикулярная прямой  на плоскости . Доказать, что проекция AH наклонной AB перпендикулярна .

Доказательство: прямая  перпендикулярна AB по условию, и перпендикулярна BH, так как BH перпендикулярна ко всей плоскости , а значит и к любой прямой внутри нее. Прямая  перпендикулярна прямым AB и BH, и прямые AB и BH пересекаются в точке B. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна любой прямой из плоскости (ABH), образованной прямыми AB и BH, а значит, она перпендикулярна и проекции AH.

Решение задачи

Задача №1:

Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если  (рис. 7).

Рис. 7

Решение

 – по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники (OK перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого квадрата) и катет OK общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит ).

Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от точки K до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину лишь одной из гипотенуз, например, AK.

Рассмотрим треугольник ABO: это прямоугольный треугольник с равными катетами, так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, углы  и  равны , и из условия известно, что гипотенуза равна  – значит, можно найти катеты:

.

Рассмотрим треугольник AKO: , , . Найдем гипотенузу AK:

.

Ответ: расстояние от точки K до вершин квадрата равно .

Выводы:

Было рассмотрено взаимоотношение прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости, рассмотрена и прокомментирована теорема о трех перпендикулярах и решена конкретная задача, в которой эти понятия используются.

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Yaklass.ru (Источник).
  3. Festival.1september.ru (Источник).
  4. Slideshare.net (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна ли она скрещивающейся прямой, лежащей в этой плоскости?
  2. Может ли наклонная быть перпендикулярна к плоскости?
  3. Могут ли наклонная к плоскости и перпендикуляр к этой плоскости образовать новую плоскость?
  4. В формулировке теоремы о трех перпендикулярах речь идет о двух перпендикулярах (наклонной к прямой в плоскости и проекции этой наклонной к этой же прямой в плоскости), так о каком третьем перпендикуляре говорит название теоремы?
  5. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата и расстояние от точки K до сторон квадрата, если .