Классы
Предметы

Примеры экзаменационных задач по геометрии

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Примеры экзаменационных задач по геометрии

Данный урок поможет получить представление о теме «Примеры экзаменационных задач». На этом занятии мы решим задачи, специально подобранные, чтобы охватить многие темы курса десятого класса.

Решение типовой задачи, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания

Задача 1

Дан прямоугольный треугольный треугольник ABC (). Гипотенуза  см, катет  см. Отрезок  см, перпендикулярен плоскости (ABC). Найти длину вектора  и угол между прямой SB и плоскостью (ABC). Также необходимо найти угол , найти угол и расстояние между прямыми BC и SA, найти величину двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC) (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение

 см.

Угол между прямой SB и плоскостью (ABC) равен углу между прямыми SB и AB, так как AB – это проекция прямой SB на плоскость (ABC).

Рассмотрим : в нем угол , а катеты AB и SA равны ( см). Значит угол , так как этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.

Так как AB – это проекция прямой SB на плоскость (ABC) и наклонная перпендикулярна прямой в плоскости основания, то, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная также перпендикулярна этой прямой.

Поскольку прямая SA перпендикулярна всей плоскости (ABC), то она перпендикулярна и всем прямым, лежащим в плоскости, значит, угол между прямыми CB и SA равен .

Расстояние между скрещивающимися прямыми CB и SA – это длина отрезка, перпендикулярного обоим прямым. В данной задаче этот отрезок и его длина уже найдены – это  см (так как он перпендикулярен CB и SA по условию).

Для нахождения двугранного угла между плоскостями (ASB) и (ASC), необходимо в каждой плоскости найти прямую, перпендикулярную линии пересечения AS. Угол между найденными линиями и будет линейным углом двугранного угла. По условию SA перпендикулярна всей плоскости основания пирамиды, значит и ее ребра AC и AB тоже перпендикулярны SA. Значит: искомый двугранный угол равен .

Найдем :

.

Ответ:  см; ; ; угол между прямыми CB и SA равен , а расстояние между ними равно 12 см; .

Решение типовой задачи, где присутствует правильная пирамида

Задача 2

В правильной четырехугольной пирамиде, диагональ основания равна  см, а двугранный угол при основании равен . Найти площадь полной поверхности пирамиды, угол между прямыми AC и SB и отрезок, характеризирующий расстояние между ними (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Правильная n-угольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а высота проецируется в его центр (центр вписанной и описанной окружности).

Возьмем точку M – середину AB. Треугольник ASB равнобедренный (так как у нас правильная пирамида), поэтому медиана SM является биссектрисой и высотой, и .  и , значит,  – двугранный угол при основании.

Найдем сторону квадрата в основании пирамиды:

 см.

Площадь основания равна квадрату стороны: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (:  по условию, катет  см и OM – катет, лежащий против угла в , и соответственно равный половине гипотенузы. Отсюда  см.

Площадь боковой поверхности равна:

Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: .

Найдем угол между скрещивающимися прямыми AC и SB. SB – наклонная, а ее проекция на плоскость основания – OB. По свойствам квадрата, его диагонали пересекаются под прямым углом, значит, . По теореме о трех перпендикулярах, прямые AC и SB – перпендикулярны.

Проведем перпендикуляр . , так как AC перпендикулярна всей плоскости (BOD). То есть мы нашли отрезок, характеризующий расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Если потребуется его найти, то рассматривается прямоугольный треугольник SOB, в нем OH – высота к гипотенузе. Площадь этого треугольника равна  и равна . Тогда из равенства площадей можно найти OH.

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна , угол между прямыми AC и SB равен .

Выводы

Была рассмотрена одна типовая задача из контрольной работы, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Также была рассмотрена вторая типовая задача, где присутствует правильная пирамида.

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Festival.1september.ru (Источник).
  3. Slideshare.net (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Могут ли несколько граней треугольной пирамиды (больше одной) быть перпендикулярными основанию?
  2. Сколько пар скрещивающихся прямых в четырехугольной пирамиде?
  3. Какой угол между основанием и ребром пирамиды, если высота проецируется на середину ребра основания и равна его половине?
  4. Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?
  5. В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC со стороной 5 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.