Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Призма

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Призма

На этом уроке мы разберем, как построить призму, дадим строгое определение призмы и назовем ее основные элементы. Далее мы вспомним понятие перпендикулярности прямой и плоскости, чтобы сформулировать определение прямой и наклонной призмы. Также мы узнаем, какая призма называется прямой, что такое высота призмы.

 

Тема: Понятие многогранника

Урок: Призма

Построение призмы

Многогранник, называемый призмой, можно построить следующим образом. Рассмотрим параллельные плоскости α и β (рис. 1), то есть такие плоскости, которые не имеют общих точек (не пересекаются).

Рис. 1

В плоскости α возьмем какой-нибудь многоугольник А1А2А3…Аn (рис. 2). Многоугольник может иметь произвольное количество сторон. В данном случае у нас нарисован пятиугольник. В плоскости β возьмем многоугольник В1В2В3…Вn, который равен многоугольнику А1А2А3…Аn, причем так, чтобы равные стороны А1А2 и В1В2, А2А3 и В2В3 …  АnА1 и ВnВ1 этих многоугольников были попарно параллельны.

Рис. 2

Определение призмы, основные элементы призмы

Напоминание. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Например, есть какая-то плоскость, в которой лежат прямые АnА1 и ВnВ1 и эти прямые в этой плоскости параллельные, то есть не пересекаются (рис. 3).

Рис. 3

Проведем теперь отрезки А1В1, А2В2, А3В3, … , АnВn (рис. 4). В результате мы получим n параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn. Это действительно параллелограммы. Возьмем, например, четырехугольник А1А2В2В1. Стороны А1А2 и В1В2 равны и параллельны. Значит, четырехугольник А1А2В2В1 является параллелограммом.

Рис. 4

Таким образом, n-угольной призмой называется многогранник А1А2А3…АnВ1В2В3…Вn, состоящий из двух равных n-угольников А1А2А3…Аn и В1В2В3…Вn и параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn.

Многоугольники А1А2А3…Аn и В1В2В3…Вn называются основаниями призмы (рис. 5).

Параллелограммы А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn называются боковыми гранями призмы.

Отрезки А1В1, А2В2, А3В3, … , АnВn  называются боковыми ребрами призмы.

Рис. 5

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вспомним понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость α (рис. 6). Прямая а, пересекающая плоскость α в точке Н, называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, проходящей через точку Н.

Рис. 6

Проведем в плоскости α прямую с через точку Н (рис. 7). Если прямая а перпендикулярна прямой с, то прямая а перпендикулярна и всей плоскости α. Причем прямых, в этом случае перпендикулярных прямой а из плоскости α, бесконечно много (рис. 8).

Рис. 7                                                            Рис. 8

Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается следующим образом: а ⊥ α. Говорят, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Прямая и наклонная призма

Если все ребра призмы перпендикулярны плоскости ее основания, то призма называется прямой. Пример прямой пятиугольной призмы (рис. 9), то есть такой призмы, у которой все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Рис. 9

Если ребра не перпендикулярны плоскости основания призмы, то призма называется наклонной. Пример наклонной четырехугольной призмы (рис. 10).

Рис. 10

Правильная призма

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. Пример правильной шестиугольной призмы (рис. 11). То есть это прямая призма, у которой в основании лежат правильные шестиугольники.

Рис. 11

Высота призмы

Выберем точку А одного из оснований призмы. Проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости другого основания и пересекающую ее в точке В. Полученный отрезок АВ называется высотой призмы (рис. 12).

В курсе стереометрии 10-11 классов доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу. То есть высот в призме можно провести бесконечно много. Все зависит от того, где мы выберем точку А.

Рис. 12

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. Какое наименьшее число ребер может иметь призма?
  2. Сколько ребер у шестиугольной призмы?
  3. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
  4. Найдите расстояние между вершинами D и B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если A1D1 = 6 см, A1B1 = 8 см, DD1 = 10 см.
  5. Площадь поверхности куба 24 см2. Найдите площадь диагонального сечения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Profmeter.com.ua (Источник).
  2. Я Класс (Источник).
  3. Интернет-портал Bymath.net (Источник).