Классы
Предметы

Многогранники. Призма. Задачи на призму

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Многогранники. Призма. Задачи на призму

Вы можете просмотреть вариант этой темы урока от сайта www.urokimatematiki.ru по ссылке

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Многогранники. Призма. Задачи на призму». На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. Затем решим несколько задач на эту тему.

Тема: Многогранники

Урок: Многогранники. Призма. Задачи на призму

Тема и цели урока

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Повторение, призма

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA1B1C1D1F1, ее основания ABCDF и A1B1C1D1F1. Пятиугольники ABCDF и A1B1C1D1F1  равны и лежат в параллельных плоскостях.

Рис. 1

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA1B1C1D1F1:

ABCDF и A1B1C1D1F1  – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА1В1В, ВВ1С1С, CC1D1D, DD1F1F, FF1A1A. А боковыми ребрами – АА1, ВВ1, СС1, DD1, FF1.

Прямая призма

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA1B1C1D1F1 (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA1 перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА1 перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.

Рис. 2

Параллелепипед

Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A1B1C1D1.

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D(рис. 4). Если ребро AA1 перпендикулярно плоскости ABCD, то параллелепипед ABCDA1B1C1D прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение:  ABCDA1B1C1D1­  или кратко AC1.

Правильная призма

Определение. Правильной n-угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n-угольник.

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA1B1C1 (рис. 5). Призма ABCA1B1C – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1АВС.

АА1 = h.

Доказать: Sбок = Росн ∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, боковые грани АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С:

Sбок = АВ∙ АА1 + ВС∙ ВВ1 + СА∙ СС1 = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h.

Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.

Задача 1

В правильной n-угольной призме сторона основания равна a и высота равна h. Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

Дано: АВСА1В1С1 – призма,

АА1АВС,

h = АА1 = 15см,

АВ = BC = CA = a = 10 см.

Найти: Sбок , Sполн.

 

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

Sбок = Pосн ∙ h = PАВС ∙ АА1 = 3 ∙ АВ ∙ h = 31015 = 450 (см2).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС. Найдем его площадь.

 (см2)

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

 (см2).

Ответ:  (см2).

Задача 2

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано: призма ABCDA1B1C1D1 (рис. 7),

АА1 = 12 см,

перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: Sбок

Рис. 7

Решение:

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен  см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

 (см2).

Ответ: 240 см2.

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – призма,

AA1ABC,

AB CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

hтрап= 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC1 (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC1. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β – перпендикуляр b, второй перпендикуляр в плоскости α – перпендикуляр a. Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС1. Так как ребро СC1 перпендикулярно всей плоскости ABC, то ребро СC1 перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD. Тогда угол между прямыми BC и CD, а именно угол DCB, является линейным углом двугранного угла при ребре СC1.

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА1 – это угол ВAD, при ребре DD1 – ∠ADC, при ребре BB1 – ∠ABC. Все эти углы являются углами трапеции ABCD. Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК. Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC. Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ, то АНКВ – параллелограмм.  Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то  см.

Рассмотрим треугольник DHA. Он прямоугольный, так как АНDC и равнобедренный, так как АН = DH. Значит, HAD = HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то DCB = СDA = 45°, DAB = ABC = 180° - 45° = 135°.

Ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.

 

Список литературы

  1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Физ/мат класс (Источник).
  2. 5klass.net (Источник).
  3. Ppt4web.ru (Источник).
  4. Якласс (Источник).
  5. Rutube.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см2, 2 см2, 3 см2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
  2. Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
  3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
  4. Найдите площадь поверхности правильной n-угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.