Классы
Предметы

Пирамида. Правильная и усечённая пирамиды

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Пирамида. Правильная и усечённая пирамиды

Данный урок поможет получить представление о теме «Пирамида. Правильная и усеченная пирамида». На этом занятии мы познакомимся с понятием правильной пирамиды, дадим ей определение. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды и теорему о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

 

Тема: Пирамида

Урок: Правильная и усечённая пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Определение: правильной n-угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, и высота проецируется в центр этого n-угольника (рис. 1).

Рис. 1

Правильная треугольная пирамида

Для начала рассмотрим ∆ABC (рис. 2), в котором AB=BC=CA (то есть в основании пирамиды лежит правильный треугольник). У правильного треугольника центр вписанной и описанной окружности совпадают и являются центром самого треугольника. В данном случае центр находится следующим образом: находим середину АВ – С1, проводим отрезок СС1, который является медианой, биссектрисой и высотой; аналогично находим середину AC – B1 и проводим отрезок BB1. Пересечением BB1 и СС1 будет точка О, которая является центром ∆АВС.

Если соединить центр треугольника O с вершиной пирамиды S, то получим высоту пирамиды SO ⊥ ABC, SO = h.

Соединив точку S с точками А, В и С получим боковые ребра пирамиды.

Мы получили правильную треугольную пирамиду SABC (рис. 2).

Рис. 2

Стандартные задания на пирамиды (Sосн,Sбок ,ha)

Известны стороны основания – а и высота пирамиды – h. Необходимо найти:

1. Sосн

2. Sбок  ,ha

3. ∠(AB)

4. ∠(SC)

Решение:

1. Найти Sосн

Если есть ∆АВС (рис. 3), сторона которого равна а, то

Рис. 3

2. Найти Sбок ,hа

Отрезок SC1 называется апофемой ha(рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника SC1O. Известен катет SO=h, второй катет С1О найдем из ∆АВС (рис. 3).

Для начала найдем высоту АА1 из прямоугольного треугольника АА1С:

Высота АА1 состоит из радиуса вписанной окружности r=С1О и из радиуса описанной окружности R (причем R=2r).

Следовательно

 

Зная катеты ∆SC1O, мы можем найти гипотенузу

Найдя апофему haможно без труда найти

И

Стандартные задания на пирамиды (двухгранные углы)

Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

3. Найти (АВ)

Двугранный угол при ребре АВ есть угол между плоскостями SAB и ABC. Обозначим его

Избавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения и деления выражения на  

Зная тангенс угла, можем найти сам угол

5)4. Найти( (SC)

Проведем BP⊥SC и AP⊥SC ,SC, тогда ∠(SC)= ∠APB. Обозначим его как ∠α (рис. 4)

Рис. 4

Для нахождения угла рассмотрим равнобедренный треугольник АРВ. Основание треугольника АВ=а, а боковые стороны найдем из ∆ACS (который тоже является равнобедреннымтреугольником) в).

B ∆SAC S известны основание АС = а и боковые стороны . Необходимо найти высоту ,высоту, проведенную из точки А. Для этого нужно найти площадь треугольника:

Из данного уравнения найдем АР:

По теореме косинусов

Косинус угла однозначно определяет угол в треугольнике, поэтому дальше задача очевидная.

Усеченная правильная пирамида

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

Рис. 5

А площадь всей боковой поверхности

Выводы:

Мы рассмотрели правильную пирамиду и стандартные задачи на нее, включая двугранные углы. А также усеченную правильную пирамиду.

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида?
  2. Сколько ребер у n-угольной усеченной пирамиды?
  3. На Рис. 4 мы провели перпендикуляр СР к ребру SC и соединили точку В и Р. Докажите, что ВР⊥SC.
  4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (точка O – центр основания, S – вершина) боковое ребро SB=13, а диагональ основания AC =24. Найдите длину отрезка SO.
  5. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L – середина ребра AC, S – вер­шина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Я Класс (Источник).
  2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
  3. Интернет-портал Slideshare.net (Источник).