Классы
Предметы

Решение задач по теме «Пирамида»

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач по теме «Пирамида»

На данном уроке мы решим различные задачи, посвященные теме «Пирамида». Основное внимание уделим треугольной пирамиде как наиболее распространенной.

Решение задачи на четырехугольную пирамиду

Задача 1

Основанием пирамиды является квадрат ABCD со стороной 4 см, высота – отрезок . найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

МА⊥АВС. Прямоугольные треугольники МАВ и MAD равны по двум катетам, отсюда . Треугольники МCD и МСВ равны по трем сторонам. Отсюда:

AD – проекция прямой MD на плоскость АВС, AD⊥DC⇒MD⊥DC, отсюда имеем прямоугольный треугольник MDC.

В прямоугольном треугольнике MAD найдем по теореме Пифагора гипотенузу:

Найдем площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDC и найдем его площадь:

Так, имеем ответ:

.

Свойства правильных многоугольников

Геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания. Рассмотрим эти свойства:

Правильный треугольник (), рис. 2:

Рис. 2. Правильный треугольник

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (), радиус описанной окружности (), высота основания () связаны следующим образом:

.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :

.

Квадрат (), рис. 3:

Рис. 3. Квадрат

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны;  (это можно найти например из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС)

.

Правильный шестиугольник (), рис. 4:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия); Провести диаметр (синяя пунктирная линия); Отметить середины радиусов построенного диаметра; Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии); Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

Решение обобщенной задачи на правильную треугольную пирамиды

Рассмотрим обобщенную задачу на правильную треугольную пирамиду.

Задача 2

В правильной треугольной пирамиде сторона основания , высота . Найти апофему , боковое ребро l, площадь боковой поверхности, тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, угол между АВ и CD. Построить общий перпендикуляр к прямым АВ и CD.

Решение. Проиллюстрируем:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Правильная треугольная пирамида полностью задается двумя элементами, в данном случае стороной основания и высотой. Мы подробно рассмотрели свойства правильного треугольника и определили выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через высоту. Так, в прямоугольных треугольниках  и DOC нам известен их общий катет – высота пирамиды , известны и вторые катеты: . Можем найти гипотенузы по теореме Пифагора.

Гипотенуза  является искомой апофемой, гипотенуза DС – боковым ребром пирамиды.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Нам необходимо найти тангенс угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды. Т. е. нам необходимо найти . Напомним, что тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Имеем:

Осталось найти угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Докажем, что этот угол равен . СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB.

Рис. 6. Построение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым

Построим общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым АВ и CD (рис. 6). Очевидно, что точка  – середина ребра АВ. Проведем  перпендикулярно DC.

Докажем, что .

Так, общим перпендикуляром к рассматриваемым скрещивающимся прямым является отрезок .

Решение нестандартной задачи на тетраэдр

Задача 3

В правильном тетраэдре расстояние между противоположными ребрами равно . Найти ребро тетраэдра.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания. То есть все ребра равны между собой. Обозначим искомую длину ребра за .

Пусть  – середина АВ, М – середина DC. Тогда  – медиана треугольника ADB.  – медиана треугольника АВС. Поскольку эти треугольники равносторонние, медианы являются одновременно высотами.

АМ и ВМ – высоты в равных правильных треугольниках ADC и BDC соответственно. Отсюда треугольник АМВ равнобедренный.

 – его медиана, проведенная к основанию, а значит, по свойству равнобедренного треугольника  (является одновременно высотой). Аналогично  – медиана в равнобедренном треугольнике , она является высотой и имеем . Отсюда заключаем: .

Рассмотрим треугольник АВМ.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

МВ – высота в равностороннем треугольнике со стороной , мы её рассматривали в свойствах равностороннего треугольника:

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника :

.

Итак, были рассмотрены типовые задачи на тему «Пирамида», в частности, обобщенные задачи на правильный тетраэдр. Также мы вспомнили некоторые основные геометрические факты.

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Ru.science.wikia.com (Источник).
  2. Terminologija.ru (Источник).
  3. 2mb.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Задача 1: стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра – 75. Найдите площадь поверхности пирамиды.
  2. Задача 2: основание пирамиды – прямоугольник. Одна боковая грань перпендикулярна основанию, остальные наклонены под углом . Высота пирамиды – 12 см. Найдите площадь основания.
  3. Задача 3: во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?