Классы
Предметы

Повторение теории. Решение задач по теме "Параллельность прямых и плоскостей"

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение теории. Решение задач по теме "Параллельность прямых и плоскостей"

На этом уроке мы повторим теорию и решим несколько задач на тему «Параллельность прямых и плоскостей».
В начале урока вспомним три случая взаимного расположения прямой и плоскости и дадим определение прямой, параллельной плоскости. Повторим теорему – признак параллельности прямой и плоскости и два утверждения-следствия из этой теоремы.
Далее вспомним три случая взаимного расположения прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых и теорему-признак скрещивающихся прямых. Повторим теорему о том, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
Вспомним определение угла между прямыми, в частности, между скрещивающимися прямыми.
Далее дадим определение параллельных плоскостей и вспомним теорему-признак параллельности плоскостей. А также рассмотрим три свойства параллельных плоскостей.
В конце урока мы решим несколько задач с использованием повторенной теории.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Тема урока

На этом уроке мы повторим теорию и решим несколько задач на тему «Параллельность прямых и плоскостей».

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α:  (рис. 1).

Рис. 1.

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (рис. 2).

Рис. 2.

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α:  (рис. 3).

Рис. 3.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пусть дана прямая а и плоскость  (рис. 4). В плоскости лежит прямая b, которая параллельна прямой а. Из параллельности прямых а и b вытекает параллельность прямой а и плоскости .

Рис. 4.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть дана прямая а, параллельная плоскости  (рис. 5). Через прямую а проходит плоскость . Плоскость  и пересекаются по прямой b. Значит, прямые а и b параллельны.

Рис. 5.

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Прямая а параллельна плоскости . Прямые а и b параллельны. Значит, прямая b либо параллельна плоскости (рис. 6), либо лежит в плоскости  (рис. 7).

Рис. 6

 

Рис. 7

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С:  (рис. 8). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 8.

2) Прямые a и b параллельны: a || b (рис. 9). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 9.

3) Прямые a и b скрещиваются (рис. 10). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 10.

Определение скрещивающихся прямых

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая а лежит в плоскости . Прямая b пересекает плоскость в точке С, которая не лежит на прямой а (рис. 11). Признак утверждает, что прямые а и b – скрещивающиеся.

 а и b – скрещивающиеся прямые.

Рис. 11.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Прямые а и b скрещиваются (рис. 12). По теореме, через прямую а проходит единственная плоскость, параллельная прямой b. А через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой а.

Рис. 12.

Угол между прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (рис. 13). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а1 и b1, угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми а и b.

Рис. 13.

Точку можно взять любую. Например, возьмем точку О1 (рис. 14). Угол будет тот же в силу теоремы об углах с сонаправленными сторонами.

Рис. 14.

Угол между пересекающимися прямыми

Углом между пересекающимися прямыми, называется наименьший из углов между ними.

Определение параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Пусть даны плоскости  и  (рис. 15). В плоскости  лежат пересекающиеся прямые а и b. В плоскости проведена прямая а’, параллельная прямой а, и прямая b’, параллельная прямой b. По признаку, плоскости  и  параллельны.

Рис. 15.

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны параллельные плоскости  и  и плоскость  , которая пересекает плоскости  и по прямым а и b соответственно (рис. 16). Значит, по свойству, прямые а и b параллельны.

Рис. 16.

Свойство 2. 

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Пусть даны параллельные плоскости  и и параллельные прямые m и n, которые пересекают эти плоскости (рис. 17). Отрезки АВ и СD прямых m и n соответственно, которые заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 17.

Свойство 3.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Для наглядности параллельные плоскости , ,  спроектируем на плоскость экрана в виде прямых линий (рис. 18) Отметим на рисунке длины отрезков -  а, b, а1, b1.

Из точки О проведем прямую, параллельную второму отрезку. Получаем теорему Фалеса: . То есть, параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Рис. 18.

Задача 1

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В1 и С1, а другую в точках А2, В2, С2 (рис. 19). Докажите, что треугольники А1B1C1 и A2B2C2 подобны.

Рис. 19.

Доказательство

Пусть данные три прямые пересекаются в точке S.

По свойству 1, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Плоскости А1B1C1 и A2B2C2 параллельны и пересечены плоскостью 1B1. Значит, линии пересечения А1B1 иА2В2 параллельны. Аналогично, плоскость 1С1 рассекает плоскости  А1B1C1иA2B2C2 по параллельным прямым В1С1 и В2С2. А плоскость 1С1 рассекает плоскости  А1B1C1иA2B2C2 по параллельным прямым А1С1 и А2С2.

1 способ.

Углы А и А­­1 равны как углы с сонаправленными сторонами. Углы С и С­­1 также равны как углы с сонаправленными сторонами. Значит, треугольники А1B1C1 и A2B2C2 подобны по двум углам.

2 способ.

Треугольники 1B1 ­и 2B2 подобны, так как прямые А1B1 иА2В2 параллельны. Треугольники 1B1 ­и 2B2 подобны, так как прямые С1B1 иС2В2 параллельны. Треугольники 1С1 ­и 2С2 подобны, так как прямые А1С1 иА2С2 параллельны. Из подобия следует:

Из пропорциональности трех сторон вытекает подобие треугольников 1B1 ­и 2B2.

Задача 2

Параллельные отрезки А1А2, В1B2, C1C2 заключены между параллельными плоскостями  и  (рис. 20).

а) Определите вид четырехугольника А1В1В2А2, С1В1В2С2, А1С1С2А2.

б) Докажите, что треугольники А1B1C1 и A2B2C2 равны.

Рис. 20.

Решение

а) Прямые А1А2, В1B2 параллельны по условию. А1А2 = В1B2 по свойству 2 параллельных плоскостей. В четырехугольнике А1В1В2А2 противоположные стороны параллельны и равны, значит, А1В1В2А2 – параллелограмм. Аналогично доказывается, что четырехугольники С1В1В2С2, А1С1С2А2 – параллелограммы.

б) А1В1 = А2В2, B1C1 = B2C2, А1C1 = A2C2 (как противоположные стороны параллелограммов). Значит, треугольники А1B1C1 и A2B2Cравны по трем сторонам.

Задача 3

Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.

Рис. 21.

Доказательство

Пусть АВ = x, AC1 = d, AA1 = z, AD = y. Из любой вершины исходят три ребра, сумма длин которых равна x + y + z. Воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольник АСС1. АС1 < AC + CC1, d < z + AC. Из треугольника АВС имеем: АС < AB + BC = AB + AD= x + y. Значит, d < z + x + y, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию о параллельности прямых и плоскостей и решили серию задач на эту тему.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник)

2. ЕГЭ (Источник)

3. Fizma.net (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 7, 8 стр. 23                                 

2. Назовите случаи взаимного расположения:

а) прямой и плоскости

б) двух прямых.

3. Луч АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках M1 и М2, а луч АС - в точках Р1 и Р2 соответственно. Найдите длину отрезка АМ2, если АМ1 = 4 см, а М1 Р1 : М2 Р2 = 1 : 3.

4. Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

5. Могут ли иметь равные длины два непараллельных отрезка, концы которых принадлежат различным параллельным плоскостям?