Классы
Предметы

Свойства параллельных плоскостей

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Свойства параллельных плоскостей

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и  и плоскость  , которая пересекает плоскости  и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости  и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Рис. 3.

Параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – В1С1. По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Получаем:

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости  и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В1 и В2 (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА2 и АВ2, если А1А2=2А1А=12 см, АВ1=5 см.

б) А2В2 и АА2, если А1В1=18 см. АА1=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А1А = k, тогда по условию длина А1А2=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА2=3k=3∙6=18, т.е. АА2=18 см.

Две параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А1В1 и А2В2 параллельны. Значит, треугольники АА2В2 и АА1В1 подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА1В1 и АА2В2 равны). Из подобия имеем:

  см.

Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.

б) Пусть А1А2 = k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА2 состоит из длин двух отрезков: АА2=АА1+ А1А2, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит,  см.

Из подобия треугольников АА2В2 и АА1В1 следует, что

 см.

Ответ: А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

2. Шпаргалки (Источник)

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича (Источник)

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Точка О – общая середина каждого из отрезков АА1, ВВ1, СС1, которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А1В1С1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29