Классы
Предметы

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

На этом уроке мы дадим определение сонаправленных лучей и докажем теорему о равенстве углов с сонаправленными сторонами. Далее дадим определение угла между пересекающимися прямыми и скрещивающимися прямыми. Рассмотрим, каким может быть угол между двумя прямыми. В конце урока решим несколько задач на нахождение углов между скрещивающимися прямыми.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Углы с сонаправленными сторонами. Угол между двумя прямыми

Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО1 (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О2А2 и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Рис. 1.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

Рис. 2.

На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.

Рис. 3.

И прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А1В1 параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что .

Рис. 4. Угол между двумя пересекающимимся прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а1 и b1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О1. Через точку О1 проведем прямую а2, параллельную прямой а, и прямую b2, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а2 и b2 обозначим φ1. Тогда углы φ и φ1 - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

 

Рис. 6.

Задача 1 Найти угол между двумя прямыми

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если: 

1) ∠АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА1 параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А1СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А1СD равен углу АОВ, то есть 40°.

Рис. 7. Найти угол между двумя прямыми

2) ∠АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1.

Рис. 8. 

3) ∠АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1 равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Рис. 9.

Задача 2

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Рис. 10. 

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M, N, K, L – середины ребер BD, AD, AC, BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. – средняя линия. По свойству средней линии, параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и параллельны АВ. Значит, МN параллельна по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и параллельны и равны, так как МN и равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. – средняя линия треугольника АСD, по свойству, параллельна . Значит, через точку N проходят две прямые МN и , которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и соответственно. Значит, угол между прямыми МN и является углом между скрещивающимися прямыми АВ и . Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итоги урока по теме "Угол между двумя прямыми"

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

 

Список рекомендованной литературы по теме "Угол с сонаправленными сторонами", "Угол между двумя прямыми"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Dok.opredelim.com (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Математический сайт Цегельного В.С. (Источник)

4. Кавказская средняя школа №8 (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание по теме "Угол с сонаправленными сторонами" и как найти угол между двумя прямыми

1. Какие лучи называются сонаправленными?

2. Что такое угол между пересекающимися прямыми? Что такое угол между скрещивающимися прямыми?

3. Дан куб  (см. Рис. 11.). Найдите угол между прямыми:

а) AB и BC.

б) AB и A1D1.

в) BC и D1В1.

Рис. 11. Найти угол между прямыми

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 54