Классы
Предметы

Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Задачи на построение сечений в параллелепипеде

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Тема урока

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде».

Повторение свойств параллелепипеда

Рассмотрим параллелепипед АВСDА1B1C1D1 (рис. 1). Вспомним его свойства.

Рис. 1. Свойства параллелепипеда

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы АВСD и А1B1C1D1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, AD = BC = A1D1 = B1C1 (рис. 2).

Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда BD1 и B1D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

Рис. 3.

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Задача на сечение параллелепипеда

Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА1B1C1D1 и точки M, N, K на ребрах AA1, A1D1, A1B1соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA1D1 и в секущей плоскости. Значит, MN – линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.

Рис. 4.

Задача 1 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью А1В1М, где .

Решение (см. рис. 5)

Рис. 5.

1 способ

Соединим точки А1 и М. Эти точки лежат одновременно в плоскости AA1D1 и в секущей плоскости. Значит, А1М – линия пересечения этих плоскостей.

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую MN параллельно А1В1, . Соединим точки В1 и N. A1B1NM - искомое сечение. Заметим, что A1B1NM – параллелограмм. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда, нужно найти площадь полученного параллелограмма.

2 способ

Соединим точки А1 и М.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую B1N параллельно А1M, . Соединим точки M и N. A1B1NM - искомое сечение.

Задача 2 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью Р1Р2Р3, где  (рис. 6).

Рис. 6.

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным. И соответственно, площадь сечения параллелепипеда нужно было бы считать по разным формулам.

Решение:

1 способ (рис. 7)

Рис. 7.

Соединим точки Р1и Р2 и получим прямую Р1Р2 – линию пересечения плоскости АВВ1 и секущей плоскости.

Соединим точки Р3и Р2 и получим прямую Р3Р2 – линию пересечения плоскости СВВ1 и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости АDD1 и BCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую Р1S1 параллельно Р3Р2, .

Если две параллельные плоскости АВВ1 и DCC1 рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую P3S2 параллельно P1P2, .

Соединим точки S1 и S1. Пятиугольник Р1Р2Р3S2S1- искомое сечение.

2 способ (рис. 8)

Рис. 8.

Соединим точки Р1и Р2 и получим прямую Р1Р2 – линию пересечения плоскости АВВ1 и секущей плоскости. Продлим прямые Р1P2 и АВ до их пересечения в точке Q1.

Соединим точки Р3и Р2 и получим прямую Р3Р2 – линию пересечения плоскости СВВ1 и секущей плоскости. Продлим прямые Р3P2 и ВС до их пересечения в точке Q2.

Точки Q1 и Q2лежат в плоскости АВС. Соединим точки Q1и Q2. Получаем .

Соединим точки Р1и S1, Р3 и S2. Пятиугольник Р1Р2Р3S2S1- искомое сечение.

Задача 3 Построить сечение параллелепипеда

Изобразите параллелепипед АВСDА1B1C1D1 и отметьте точку М грани АА1В1В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно:

а) плоскости основания ABCD

б) плоскости BDD1.

Решение:

а) Заметим, что секущая плоскость и плоскость АВС пересекаются третьей плоскостью АВВ1. Значит, линии пересечения параллельны. Поэтому через точку М проведем прямую М1М2 параллельно АВ (рис. 9),  , . М1М2– это линия пересечения секущей плоскости и грани АВВ1А1.

Проведем прямую М2М3 параллельно ВС,  .

Проведем прямую М3М4 параллельно CD,  .

Соединим точки М1 и М4. М1М2М3М4 – искомое сечение.

 

Рис. 9.

б) Плоскость BDD1 и секущая плоскость рассекаются третьей плоскостью АВВ1 по параллельным прямым. Поэтому через точку М проведем прямую N1N2 параллельно прямой ВВ1, .

Проведем прямую N2N3 параллельно ВD,  .

Проведем прямую N1N4 параллельно B1D1.

Соединим точки N3 и N4. N1N2N3N4 – искомое сечение.

Рис. 10.

Задача 4 Построить сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда AD1 плоскостью ACM, где . Определите вид полученного сечения.

Решение: (рис. 11)

Параллельные плоскости АВСD и А1B1C1D1  рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку М нужно провести прямую NK параллельно АС, .

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

Рис. 11.

Задача 5 Построить сечение куба

Ребро куба равно а.

1) Постройте сечение куба плоскостью ACN, где N – середина ребра A1D1 (рис. 12).

Рис. 12. Построить сечение куба

Решение:

Точки А и С лежат одновременно и в секущей плоскости, и в плоскости АВС. Значит, АС – линия пересечения этих плоскостей.

Параллельные плоскости АВСD и А1B1C1D1  рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку N нужно провести прямую NK параллельно АС,  (рис. 13).

Соединим точки A и N, K и C. ANKC – искомое сечение. ANKC – трапеция, так как NK || AC.

Заметим, что NK – средняя линия треугольника A1D1C1.

Рис. 13.

2) Найдите периметр сечения ANKC.

По условию, ребро куба равно а (рис. 14). Значит, диагональ .

Найдем длину отрезка NK: , так как NK – средняя линия треугольника A1D1C1. То есть.

AN = KC, так как треугольники AA1N и CC1K равны.

Найдем AN из прямоугольного треугольника AA1N. По теореме Пифагора  .

Вычислим периметр:

Ответ: .

Рис. 14.

Задача 6

По рисунку (рис. 15) найти точку пересечения прямой MN () и плоскости АВС параллелепипеда AD1.

Рис. 15.

Решение:

Рассмотрим плоскость АСС1А1. В этой плоскости лежит прямая NM и прямая AC. Эти прямые не параллельны. Найдем точку пересечения прямых NM и AC. Обозначим точку пересечения Q (рис. 16).

Точка Q лежит на прямой NM и на прямой АС, а значит и в плоскости АВС. Мы нашли след прямой NM на плоскости АВС. Точка Q – искомая.

Рис. 16. 

Задача 7

Построить сечение параллелепипеда AD1 плоскостью MNP, где  (рис. 17).

Рис. 17.

Решение:

Найдем точку пересечения прямой NM и плоскости АВС (см. зад. 6). Обозначим эту точку Q (рис. 18).

Соединим точки Q и Р, так как эти точки лежат одновременно и в плоскости сечения и в плоскости АВС. Получим точки пересечения прямой QР и ребер AD и DC – точки S1и S2 соответственно, .

Соединим точки S1 и N, S2 и M.

Проведем S3M параллельно S1N, .

Проведем S4N параллельно S2M, .

Соединим точки S3 и S4. S1S2MS3S4N – искомый шестиугольник.

Рис. 18.

Итоги урока по теме "Сечение параллелепипеда", "Площадь сечения параллелепипеда"

Итак, мы вспомнили основные свойства параллелепипеда и решили серию типовых задач на построение сечений в параллелепипеде и посчитали периметр и площадь параллелепипеда.

 

Список рекомендованной литературы по теме "Параллелепипед", "Сечение параллелепипеда", "Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник)

2. Егэ по математике (Источник)

3. КакПросто (Источник)

4. Myshared.ru (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание: построить сечение параллелепипеда, посчитать периметр и площадь параллелепипеда

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50                       

2. Дан параллелепипед АВСDА1B1C1D1. М и N – середины ребер DC и A1B1.

а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ1С1С.

б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ1С1

3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ВС1 и середину М ребра DD1.