Классы
Предметы

Задачи на тетраэдр

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Задачи на тетраэдр

На этом уроке мы будем решать разнообразные задачи в тетраэдре с использованием свойств сечений параллелограмма, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Задачи на тетраэдр

Тема урока

На этом уроке мы будем решать разнообразные задачи в тетраэдре с использованием свойств сечений, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.

Задача 1

Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найдите длину отрезка МN, если ВС = а.

Рис. 1.

Решение:

АМ = ВМ, так как М – середина отрезка АВ, АN = СN, так как N - средина отрезка АС. МN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, МN параллельна ВС и .

Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через середины ребер АВ и тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани B и SBС по параллельным прямым.

Рис. 2.

Доказательство:

Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как φ.

Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой МL, . Значит, прямая МL параллельна прямой SB.

Плоскость В проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой NP, . Значит, прямая PN параллельна прямой SB.

Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 3

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.

Рис. 3.

Доказательство:

Пусть А­1, В1, С1 – середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD (рис. 3). Докажем, что плоскость А­1В1С1параллельна плоскости BCD.

А­­­1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD.А­­­1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А­­­1В1параллельна СD. Прямые А­­­1С1и А­­­1В1 пересекаются в точке А­­­1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А­1В1С1 иBCD параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 4

а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.

б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.

в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен𝜑.

Рис. 4.

а) Построение:

1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ, .

2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD, .

3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC,  .

4) Проведем прямую LP.

5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку.Значит, MNLP – искомое сечение.

б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой  АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.

в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу N. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо 𝜑, либо π𝜑.

Итоги урока

Итак, мы решили серию типовых задач на тетраэдр. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на параллелепипед.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник)

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник)

3. Построение сечений тетраэдра (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50

2. М - середина ребра АDтетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости АВС. Найдите периметр сечения, если АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 4 см.

3. В тетраэдре SABC точка О лежит в плоскости ABC, а точка М - на отрезке SO. Постройте сечения тетраэдра плоскостью BMC.

4. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.