Классы
Предметы

Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.
Вначале вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Также повторим теорему-следствие о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости.
Далее будем решать типовые задачи на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Тема урока

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой х, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Рис. 1

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

Через любую точку М пространства проходит единственная прямая а, перпендикулярная плоскости α.

Рис. 3

Задача 1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

Рис. 4

Дано: ,

 

 

 

Доказать:

Доказательство:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P1Q1 параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР1Q1Q. В прямоугольнике РР1Q1Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P1Q1, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1.

Найдите P1Q1, если PQ = 15см., РР1= 21,5 см., QQ1= 33,5 см.

Рис. 5

Дано:  см

 см

 см

Найти:

Решение:

Две прямые РР1 и QQ1 перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР1 и QQ1 параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ1P1. Прямая РР1 перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р1Q1. Так как прямые РР1 и QQ1 параллельны, а угол РР1Q1 прямой, то четырехугольник РР1Q1Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ1.Отрезки РА и P1Q1 равны.

Отрезок Q1A равен отрезку РР1. Найдем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

 см.

P1Q1 = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

Задача 3

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВС(рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

 

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

Ответ: 3 см.

Итоги урока

Итак, мы повторили доказательства теорем, основные опорные факты и решили типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Следующий урок мы посвятим задачам по данной теме.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Первое сентября" (Источник)

2. Фестиваль педагогических идей "Первое сентября" (Источник)

3. Dok.opredelim.com (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 12, 13, 14 стр. 58

2. Отрезок АВ – общее основание равнобедренных треугольников. Найдите фигуру, которую образовывают третьи вершины всех таких треугольников.

3. Докажите, что если прямая с перпендикулярна прямой а и плоскости α, то прямая а параллельна плоскости α.

4. Прямая а перпендикулярна прямой с, а прямая с параллельна плоскости α. Перпендикулярна ли прямая а плоскости α?