Классы
Предметы

Повторение теории и решение задач по теме "Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью"

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение теории и решение задач по теме "Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью"

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Повторение теории и решение задач по теме “Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью”». Вначале мы повторим основные понятия: перпендикуляр, наклонная, проекция. Вспомним теорему о трех перпендикулярах и такое важное понятие, как угол между прямой и плоскостью. Затем решим несколько задач на перпендикуляр и наклонные.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

Тема урока

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Повторение теории и решение задач по теме “Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью”».

Напоминание основных понятий

Рассмотрим плоскость α. Точка А лежит вне плоскости α. Отрезок АН перпендикулярен плоскости α.

Отрезок АН – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. Точка Н – основание перпендикуляра.

Отрезок АМ – наклонная, М – основание наклонной.

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. (Рис. 1)

Рис. 1

Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной. То есть, АН < AM.

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначение: ρ(А; α) = АН. Точка Н – проекция точки А на плоскость α.

Свойство 2.

То есть, если из точки А проведены равные наклонные, АМ = AN, то их проекции равны: MH = HN.  Если проекции равны MH = HN, то равны и наклонные: АМ = AN.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Пусть прямая а лежит в плоскости α (рис. 2), а точка А лежит вне плоскости α Пусть прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Тогда:

Рис. 2

Заметим, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН.

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН – перпендикуляр, МН – проекция прямой АМ на плоскость α (рис. 3). Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т. е. угол НМА = φ0. Обозначение:

Рис. 3

Свойство угла между прямой и плоскостью

Пусть прямая МА проходит через точку М на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ0   90°. Угол φ0 является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку М.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 4), тогда .

Рис. 4

Задача 1, пункт 1

Прямая ОМ перпендикулярна плоскости треугольника АВС и проходит через центр О вписанной в него окружности.

Докажите, что точка М равноудалена:

1.      от прямых АВ, ВС, СА.

2.      от всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.

3.      Найдите это расстояние, если известны радиус r окружности и длина ОМ = h.

4.      Докажите равенство углов наклона прямых МТ (где Т – любая точка окружности) к плоскости АВС.

5.      Найдите тангенс этих углов.

Дано: ∆АВС, О – центр вписанной окружности, ОМАВС.

1.      Доказать: ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА)

Доказательство: см. рис. 5

Рис. 5

Пусть А1, В1, С1 – это точки касания окружности к сторонам треугольника. ОС1, ОА1, ОВ1 – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, ОС1АВ, ОА1ВС, ОВ1АС.

МО – перпендикуляр к плоскости АВС. ОС1 – проекция наклонной МС1 на плоскость АВС. Так как ОС1АВ, то МС1АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, МС1 – это расстояние от точи М до прямой АВ, МС1 = ρ (М, АВ). Аналогично получаем, что МА1 = ρ (М, ВС), МВ1 = ρ (М, СА).

Треугольники МОС1, МОА1, МОВ1 равны по двум катетам (катеты ОС1, ОА1, ОВ1 равны как радиусы вписанной окружности, катет ОМ – общий). Из равенства треугольников следует, что МС1 = МА1 = МВ1. А значит, ρ (М, АВ) = ρ (М, ВС) = ρ (М, СА), что и требовалось доказать.

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию (рис. 6) и введем некоторые дополнительные  обозначения.

Имеем окружность с центром в точке О и радиусом r, ОМОТ1Т, ОМ = h, OT = (рис. 6).

Пусть t1, t – две произвольные касательные. Т1, Т – точки касания касательных t1, tк окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.

Задача 1, пункт 2

1.      Доказать:  ρ (М, Т) = ρ (М, Т1)

                                   ρ (М, t) = ρ (М, t1)

Рис. 6

 Касательные t1, касаются окружности в точках Т, Т1 соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть ОТt.

ρ (М, Т) = МТ, ρ (М, Т1) = МТ1

ОТ – это проекция наклонной МТ на плоскость окружности. Прямая лежит в этой плоскости. Так как ОТt, то МТtпо теореме о трех перпендикулярах. Значит, ρ (М, t) = МТ. Аналогично, ρ (М, t1) = МТ1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники МОТ и МОТ1. Катет ОМ – общий, ОТ = ОТ1 как радиусы. Значит, треугольники МОТ и МОТ1 равны по двум катетам. Следовательно, МТ = МТ1, а значит, ρ (М, t) = ρ (М, t1), ρ (М, Т) = ρ (М, Т1), что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 3

1.      Найти: ρ (М, t)

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ (рис. 6). Из теоремы Пифагора:

Ответ: .

Задача 1, пункт 4

1.      Доказать: ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ1, АВС) = φ.

ОТ – проекция наклонной МТ на плоскость ABC. Значит, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ, ОТ) = ∠МТО. Аналогично, ∠(МТ1, АВС) = ∠(МТ1, ОТ1) = ∠МТ1О. Мы доказали, что треугольники МОТ и МОТ1 равны, а значит, и углы МТО и МТ1О равны. Обозначим, их величину за φ. Тогда, ∠(МТ, АВС) = ∠(МТ1, АВС) = φ, что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 5

1.      Найти: tg φ.

Рассмотри прямоугольный треугольник МОТ.

Ответ: .

Задача 2, пункт а

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О.

а) Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.

б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

Рис. 7

Дано: ABCDромб, ОКАВС, ОК = 4.5 дм, АС = 8 дм, BD = 6 дм.

а) Доказать: ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA) .

Доказательство:

Рис. 8

Сделаем вспомогательный рисунок (рис. 8). Также вспомним, что в ромб можно вписать окружность, центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба. Н1, Н2, Н3, Н4 – точки касания вписанной окружности и сторон ромба.

Н1 точка касания стороны АВ к окружности. Тогда ОН1АВ. ОН1 – это проекция наклонной КН1. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, КН1АВ. А значит, КН1 – это и есть расстояние от точки К до прямой АВ, : ρ (К, АВ) = КН1. Аналогично,  ρ (К, BC) = КН2, ρ (К, CD) = КН3, ρ (К, DA) = КН4.

Рассмотри прямоугольные треугольники КОН1, КОН2, КОН3, КОН4. Катет ОК – общий, ОН1 = ОН2 = ОН3 = ОН4 , так как ОН1, ОН2, ОН3, ОН4   радиусы одной окружности. Значит, треугольники КОН1, КОН2, КОН3, КОНравны по двум катетам. Значит, КН1 = КН2 = КН3 = КН4. Получаем, ρ (К, АВ) = ρ (К, BC) = ρ (К, CD) = ρ (К, DA), что и требовалось доказать.

Задача 2, пункт б

Найти: ρ (К, BC).

Радиус окружности ОН2 является высотой в треугольнике СОВ. Выпишем, чему равна площадь треугольника СОВ.

 дм,  дм. Тогда:

 дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник КН2О. По теореме Пифагора:

Мы показали, что ρ (К, BC) = КН2. Значит, ρ (К, BC) = 5,1 дм.

Ответ: 5,1 дм.

Итоги урока

На этом уроке мы повторили теорию и решили задачи по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью». На следующем уроке мы повторим тему «Двугранный угол».

 

Список литературы

  1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьные страницы (Источник)
  2. Якласс (Источник)
  3. ЕГЭ (Источник)
  4. ЕГЭ (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Точка А равноудалена от вершим параллелограмма. Докажите, что этот параллелограмм является прямоугольником.
  2. Основания трапеции равняются 14 см и 8 см соответственно. Через большее основание трапеции проведена плоскость, которая находится на расстоянии 8 см от меньшего основания трапеции. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до проведенной плоскости.
  3. С точки А на плоскость α проведены две наклонные длиной 15 см и 20 см. Длина проекции одной из этих наклонных равна 16 см. Найдите синус угла, образованного другой наклонной и плоскостью α.
  4. Точка К находится на одинаковых расстояниях КА и КВ от сторон прямого угла с вершиной С. О – проекция точки К на плоскость этого угла. Докажите, что ОАСВ – квадрат.