Классы
Предметы

Повторение теории и решение задач по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение теории и решение задач по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Представляем вашему вниманию урок по теме «Повторение теории и решение задач по теме “Перпендикулярность прямой и плоскости”». Повторение теории начнется с определения перпендикулярности прямой и плоскости, затем мы вспомним признак, определяющий их перпендикулярность, и важные теоремы по этой теме. Решение задач с применением полученных знаний поможет закрепить изученный материал.

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение задач по теме Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой т, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

Рис. 1

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

3. Теорема (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перепедикуляная этой плоскости.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскости (рис. 3). Тогда, по теореме, прямая а1 перпендикулярна плоскости.

Рис. 3

4. Теорема (о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости)

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая a1 перпендикулярна плоскости (рис. 3). По теореме, прямая а параллельна прямой a1.

5. Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию АВС (рис. 4). Но прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 – параллельны. Значит, прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 перпендикулярны плоскости АВС.

Рис. 4

6. Теорема (о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной прямой)

Через любую точку М пространства проходит единственная плоскость γ, перпендикулярная данной прямой а (рис. 5).

Рис. 5

7. Важный частный случай теоремы

Пусть дан отрезок АВ (рис. 6). М – середина АВ. Согласно теореме, через точку М проходит единственная плоскость γ, которая перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость γ есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка АВ.

Пусть точка N лежит в плоскости γ. Тогда NА = NВ.

Пусть точка К равноудалена от концов отрезка АВ, то есть АК = ВК. Тогда точка К принадлежит плоскости γ.

Рис. 6

8. Теорема (о существовании и единственности прямой, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной плоскости)

Через любую точку М пространства проходит прямая р, перпендикулярная плоскости α, и притом только одна (рис. 7).

Рис. 7

9. Важный частный случай теоремы

Дан треугольник АВС. Точка О – центр описанной окружности, значит, ОА = ОВ = ОС = R, R – радиус окружности. Проведем перпендикуляр ОМ = р к плоскости АВС. Тогда любая точка перпендикуляра равноудалена от вершин треугольника АВС, то есть МА = МВ = МС = l.

Рис. 8

МО – перпендикуляр к плоскости АВС, а значит прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС – прямоугольные. В этих треугольниках катет МО – общий, а катеты АО, ВО, СО – равны. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС равны по двум катетам. А значит, МА = МВ = МС, что мы и хотели показать.

10. Задача 1а

Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС (рис. 9). Точка D равноудалена от концов отрезка ВС, точка А также равноудалена от концов отрезка ВС.

а) Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.

Дано:

 

 

Доказать:

Рис. 9

Доказательство:

Пусть М – середина отрезка ВС. Треугольник АВС – равнобедренный, так как АВ = АС. Тогда медиана АМ является и высотой, то есть

Треугольник DВС – равнобедренный, так как DВ = DС. Тогда медиана DМ является и высотой, то есть

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AM из плоскости DMA, а значит, прямая ВС перпендикулярна прямой DA, которая лежит в плоскости DMA, что и требовалось доказать.

11. Задача 1б

б) Построить общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

Рис. 10

Прямая ВС лежит в плоскости АВС. Прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, прямые ВС и АD скрещиваются.

Проведем МН перпендикулярно АD (рис. 10). Но прямая ВС перпендикулярна плоскости АDM, а значит, и прямой МН, лежащей в плоскости АDM. Значит, МН – общий перпендикуляр к прямым ВС и АD.

12. Задача 2

Плоскости α и β пересекаются по прямой а (рис. 11). Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ а.

Дано:

 

 

Доказать:

Доказательство:

Прямая МА перпендикулярна плоскости α. Прямая а лежит в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB перпендикулярна плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой МС, что и требовалось доказать.

Рис. 11

13. Итоги урока

Мы повторили теорию и решили типовые задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». На следующем уроке мы повторим теорию и решим задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью».

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Задания 15, 16, 17 стр. 58.
  3. Точки А и В лежат вне плоскости α. Из точек А и В проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости α, причем прямые АВ и А1В1 параллельны. Докажите, что АА1В1В – прямоугольник.
  4. Через сторону АВ ромба ABCD проходит плоскость α так, что ВС ⊥ α. Докажите, что ABCD – квадрат.
  5. Точка М лежит вне плоскости равностороннего треугольника АВС, МА = МВ = МС. О – центр треугольника АВС. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный страницы (Источник).
  2. Я Класс (Источник).
  3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).