Классы
Предметы

Прямоугольный параллелепипед (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Прямоугольный параллелепипед (продолжение)

Данный урок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Прямоугольный параллелепипед (продолжение)». На этом занятии мы продолжим изучать прямоугольный параллелепипед. Вначале повторим основные свойства этой геометрической фигуры, затем решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Прямоугольный параллелепипед (продолжение)

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 называется прямоугольным, если:

1. АА1АВСD (то есть, параллелепипед прямой).

2. АВ АD, т. е. в основании тоже лежит прямоугольник.

Рис. 1

Основные элементы: грани, ребра, вершины, диагонали и др.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. Все свойства произвольного параллелепипеда.

2. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

4.  (см. рис. 2).

5. Диагонали равны.

Рис. 2

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Задача 1

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Рис. 3

Дано: АВСDА1В1С1D1 – куб

Найти:

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией. Проекцией прямой B1Dна плоскость АВС является прямая BD, так как ВВ1ABC. Поэтому: ∠(B1D; ABC) = BDB1 = α. Ребро куба обозначим за а: AD = a. Тогда:

Ответ:

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1Dдано:

D1B = d, AC = m, AB = n.

Найдите расстояние между:

а) прямой А1С1 и плоскостью АВС;

б) плоскостями АВВ1 и DCC1:

в) прямой DD1 и плоскостью ACC1;

Найдите:

г) косинус угла между прямой D1B и плоскостью АВС;

д) расстояние между прямыми DD1 и AC.

Дано: АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный параллелепипед.

D1B = d, AC = m, AB = n.

Рис. 4

а) ρ (А1С1, АВС)

Решение:

Пусть ВС = х, DD1 = y.

Найдем ВС из прямоугольного треугольника АВС с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, х .

BD = AC = m (как диагонали в прямоугольнике). Найдем DD1из прямоугольного треугольника BDD1с помощью теоремы Пифагора:

. То есть, у .

Прямая А1С1параллельна плоскости АВС. Значит, расстоянием между прямой и плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой А1С1 на плоскость АВС, например, АА1. Значит, ρ (А1С1, АВС) = АА1 =  = у .

Ответ:

б) ρ (АВВ1, DCC1)

Плоскости АВВ1 и DCC1 параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр, опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например, перпендикуляр ВС. Из пункта а) имеем:.

Ответ:

в) ρ (DD1, ACC1).

Прямая DD1параллельна прямой АА1 из плоскости АА1С1, а значит, прямая DD1параллельна плоскости АА1С1. Опустим с точки Dпрямой DD1 перпендикуляр DH к прямой АС (рис. 5).

Рис. 5

Прямая АА1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой DH, так как .

Получаем, что прямая DHперпендикулярна двум пересекающимся прямым АА1 и АС из плоскости АА1С1. Значит, прямая DH– есть перпендикуляр к плоскости ACC1. Тогда, DH = ρ (DD1, ACC1).

Рис. 6

Из прямоугольного треугольника DHC выразим DH:

Из прямоугольного треугольника ADC имеем:

Получаем:

Ответ: .

 

г)  

Решение:

Угол между прямой D1Bи плоскостью АВС равен углу между прямой D1B и ее проекцией на плоскость АВС. DD1 – перпендикуляр к плоскости АВС. Значит, проекция D1Bна плоскость АВС – это DB. Значит, ∠(D1B, ABC) = ∠DBD1 = φ.

Ответ: .

д) ρ (DD1, AC).

Решение:

Прямая АС лежит в плоскости АВС, а прямая DD1 пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, прямые DD1 и AC скрещиваются. Прямая DD1 параллельна плоскости АСС1, в которой лежит прямая АС.

Значит, ρ (DD1, AC) = ρ (DD1, ACC1) = .

Ответ: .

 

Итоги урока

Итак, мы повторили основные свойства прямоугольного параллелепипеда и решили задачи с использованием этих свойств. Следующий урок мы посвятим повторению перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Список литературы

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Задания 12, 13 стр. 68.
  3. Найдите диагонали прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 , где ∠BAD = 120°, AB = 4 см, AD = 8 см, AA1 = 6 см.
  4. Вспомните, какие фигуры могут получиться в результате сечения параллелепипеда плоскостью.
  5. Найдите косинус двугранного угла при ребре ВВ1 прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1(см. рис.), если АА1 = 5 см, BD = 3 см, площадь грани АА1В1В =  см2, а площадь грани AA1D1D = 25 см2.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. ФМ Класс (Источник).
  2. Интернет-портал Webmath.exponenta.ru (Источник).
  3. Я Класс (Источник).