Классы
Предметы

Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач

Данный видеоурок поможет при самостоятельном изучении темы «Решение задач». На нем вы продолжите решать задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Решение задач

Тема урока

Данный урок поможет при самостоятельном изучении темы «Решение задач».

Задача 1

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. АС = 4 см, СМ = 2√7 см.

Найдите:

1) Расстояние от точки М до прямой АВ.

2) Углы наклона прямых МD и МА к плоскости АВС, где точка D – середина отрезка АВ.

3) Расстояние от точки D до плоскости АСМ.

4) Угол наклона прямой МD к плоскости АСМ.

Рис. 1

Дано: ∆АВС, ∠АСВ = 90°,

АС = ВС,

АС = 4 см,

СМАВС,

СМ = 2√7 см.

1) Найти: ρ (М; АВ).

В задаче требуется найти расстояние от точки М до прямой АВ. Докажем, что это расстояние есть отрезок МD, где D середина АВ.

Треугольник АВС – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана СD является и высотой.

МС – перпендикуляр к плоскости АВС, МD –наклонная, СD - ее проекция на плоскость АВС. Так как проекция СD перпендикулярна АВ, то и наклонная МD перпендикулярна АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, МD и является расстоянием от точки до прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Найдем СD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МСD и найдем из него отрезок МD по теореме Пифагора.

см).

Ответ: 6 см.

2) Найти: ∠(МD, АВС), ∠(МA, АВС).

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. СD - проекция наклонной МD на плоскость АВС. Значит, ∠(МD, АВС) = ∠(МD, СD) = ∠МDС = 𝜑.

Тогда из прямоугольного треугольника МСD имеем:

Значит,

СA - проекция наклонной МA на плоскость АВС. Значит, ∠(МA, АВС) = ∠(МA, СA) = ∠МAС = . Из прямоугольного треугольника АСМ имеем:

Значит,

Ответ:

3) Найти: ρ (D; АСМ).

Нужно построить перпендикуляр к плоскости АСМ, который проходит через точку D, и найти длину этого перпендикуляра.

Рис. 2

Проведем прямую перпендикулярно прямой АС (рис. 2). Прямая перпендикулярна прямой МС, потому что МС перпендикуляр плоскости АВС. Имеем, прямая DН  перпендикуляра двум пересекающимся прямым МС и АС плоскости МАС. Значит, DН – перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, DH и есть искомое расстояние: DH = ρ (D; АСМ).

Прямые DH и СВ параллельны, так как они перпендикулярны одной и то же прямой АС. D – середина отрезка АВ. Параллельные прямые DH и СВ отсекают на стороне АВ угла САВ равные отрезки AD и DB, а значит, и на стороне АС, то есть АН = НС. Значит, DH – средняя линия треугольника АВС. Значит, по ее свойствам,

Ответ: 2 см.

4) Найти: ∠(МD, АСМ)

Прямая DH перпендикулярна плоскости АСМ. Значит, МН – это проекция наклонной МD на плоскость АСМ. Тогда угол между прямой МD и плоскостью АСМ – это угол между прямой МD и ее проекцией МН, то есть угол НМD.

Треугольник DМН прямоугольный, так как перпендикуляр к плоскости АСМ, а значит, и к прямой МН, лежащей в этой плоскости.

Ответ:

Задача 2

В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите тангенс угла между прямой АА1 и плоскостью ВС1D.

Рис. 3

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть точка О – точка пересечения прямых АС и BD, а точка О1 – точка пересечения прямых А1С1 и B1D1. Заметим, что АА1 О1О С1С, прямые АА1, О1О, С1С перпендикулярны плоскости основания АВС.

Первый способ.

Прямая ОО1 перпендикулярна плоскости основания АВС и параллельна прямой АА1. Найдем угол между прямой ОО1 и плоскостью ВС1D.

Заметим, что прямая ОО1 перпендикулярна ВD,  так как прямая ВD лежит в плоскости АВС.

Проведем из точки О1 перпендикуляр О1Н к плоскости ВС1D. Тогда ОО1 – наклонная, а ОН – проекция наклонной ОО1 на плоскость ВС1D. Так как наклонная ОО1 перпендикулярна прямой ВD из плоскости ВС1D, то и ее проекция ОН также перпендикулярна ВD.

Прямая С1О перпендикулярна прямой ВD, но через точку О проходит прямая ОН, перпендикулярная прямой ВD. Значит, прямые ОН и ОС1 совпадают. То есть, точка Н лежит на прямой ОС1.

Имеем, О1Н  - перпендикуляр к плоскости ВС1D. ОО1 – наклонная, а ОН – проекция наклонной ОО1 на плоскость ВС1D. Тогда, угол между прямой ОО1 и плоскостью ВС1D –это угол между прямой ОО1 и ее проекцией ОН, то есть угол О1ОН или О1ОС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1С1 (∠ОО1С1= 90°). Пусть ребро куба равно а. Тогда:

Второй способ.

Рассмотрим прямую С1С и найдем угол между прямой С1С и плоскостью ВС1D. Заметим, что точка С равноудалена от точек В, С1, D, так как ВС = а; DС = а; СС1 = а.

Мы знаем, что если точка равноудалена от вершин треугольника, то она проектируется в центр описанной окружности, а центр описанной окружности в треугольнике лежит на серединных перпендикулярах. Пусть Н1 - центр описанной окружности около треугольника ВС1D. Тогда точка С проектируется в точку Н1. Точка Н1 лежит на прямой ОС1. Получаем, что СН1 перпендикуляр к плоскости ВС1D, а значит, С1Н1 – это проекция С1С на плоскость ВС1D. Получаем, угол СС1Н1 или СС1О и есть угол между прямой СС1 и плоскостью ВС1D. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОСС1. Тогда:

Ответ:

Задача 3 (опорная задача)

Дано: Наклонная

Построить: Проекцию Н точки А на плоскость .

Рис. 4.

Построение:

Так как наклонная перпендикулярна прямой из плоскости, то эта прямая из плоскости перпендикулярна и проекции наклонной.

Проведем прямую МН перпендикулярно прямой с в плоскости . Таким образом, мы получим проекцию всей прямой АМ на плоскость .

Проведем прямую АН перпендикулярно прямой МН и таким образом получим искомую точку Н

Задача 4

В кубе АВСDА1В1С1D1 с ребром 1 найти расстояние от центра грани АВВ1А1 до плоскости ВС1D.

Рис. 5.

Решение:

О – центр грани АВВ1А1 (рис. 5).

Пусть Q – середина отрезка С1D, тогда прямые ОQ, АD, В1С1 являются перпендикулярами к грани DСС1. Прямые ОQ, АD, В1С1 - параллельны. Заметим, что прямая ОQ перпендикулярна С1D.

С точки О опустим перпендикуляр ОН на плоскость ВС1D. OH – и есть искомое расстояние Так как наклонная ОQ перпендикулярна прямой С1D из плоскости ВС1D, то и ее проекция НQ перпендикулярна С1D.

Треугольник ВDС1 – это правильный треугольник. Каждая его сторона – это диагональ квадрата, т.е. равна . Значит, так как BQ – медиана правильного треугольника, то BQ является и высотой. То есть прямая BQ перпендикулярна прямой С1D.

Получаем, что через точку Qпроходят две прямые BQи НQ, перпендикулярные прямой С1D. Значит, прямые BQ и НQ – совпадают, то есть точка Н лежит на прямой BQ. 

Рассмотрим треугольник ВОQ (рис. 6).

Рис. 6.

ОQ = 1. ОВ – это половина диагонали квадрата со стороной 1. Значит, .

Найдем площадь треугольника ВОQ:

С другой стороны, площадь треугольника ВОQ равна:

Значит,

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

На следующем уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой – двугранным углом.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Банк ЕГЭ (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 9, 10, 11 стр. 62

2. Точка М находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

3. Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АН и наклонные АВ и АС, АВ = 25 см, АС = 17 см, проекции наклонных на плоскость α относятся как 5 : 2. Найдите расстояние от точки А до плоскости α.

4. Точка М равноудалена от сторон квадрата АВСD и находится на расстоянии  см от плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до стороны квадрата, если сторона квадрата равна 4 см.