Классы
Предметы

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора

На этом уроке мы познакомимся с прямоугольной системой координат в пространстве, проведем аналогии с координатами на плоскости, а также рассмотрим различные понятия, связанные с координатами и векторами в пространстве.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Введение

В  классе мы с вами обсуждали прямоугольную систему координат. Тогда речь шла о плоскости: у нас были две перпендикулярные оси, и каждую точку плоскости мы задавали с помощью так называемых координат, то есть величин, которые требовалось «пройти» до данной точки от начала координат. (См. Рис. 1.)

Система координат на плоскости

Рис. 1. Система координат на плоскости

С помощью координат было удобно решать разные задачи, но мы применяем их и в жизни. Например, в кинотеатре мы ищем свое кресло сначала по ряду, а затем по номеру в ряду. (См. Рис. 2.)

Место в кинотеатре – модель координатной плоскости

Рис. 2. Место в кинотеатре – модель координатной плоскости

Но мы живем не в двухмерном пространстве, а в трехмерном. Поэтому имеет смысл поговорить об аналоге уже привычной нам системы координат, перенеся ее в пространство.

Рассмотрим такую ситуацию. Предположим, что мы пошли не в кино, а на балет. У нас есть билет, на котором написаны ряд и место. Можем ли мы легко найти свое кресло? Да, если речь о партере. Но ведь мы можем сидеть и выше: в амфитеатре или на любом из ярусов. Поэтому в данном случае мы прибегаем к трем измерениям: сначала по высоте (ярус, амфитеатр или партер), затем уже ряд, а затем место. (См. Рис. 3.)

Расположение мест в театре как пример трехмерной системы координат

Рис. 3. Расположение мест в театре как пример трехмерной системы координат

Мы пользуемся координатами и тогда, когда выбираем товары в гипермаркете самообслуживания. Например, мы хотим купить стол и нам дается инструкция, что он находится в  ряду, на  полке снизу, место номер . Мы сначала ищем ряд (первая координата), затем – место (вторая), потом – полку (третья). Можно, разумеется, сначала найти полку, а потом место. Так или иначе, речь идет о трех координатах.

Прямоугольная система координат в пространстве

Рассмотрим произвольную точку  пространства. Проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые. На каждой из них обозначим направление. Это и будут оси координат – теперь их стало три. Обратите внимание, что ось направлена к нам, ось  вправо, а  – вверх. Порядок здесь важен, так как такие направления образуют так называемую правую тройку. (См. Рис. 4.)

Оси координат трехмерного пространства

Рис. 4. Оси координат трехмерного пространства

Эту картинку можно поворачивать так, как нам удобно. Например, если мы ее повернем на  против часовой стрелки в плоскости , то получим следующую картинку:  вправо,  – вглубь,  – вверх. (См. Рис. 5.)

Поворот «тройки» на  против часовой стрелки в плоскости

Рис. 5. Поворот «тройки» на  против часовой стрелки в плоскости

Все это допустимые картинки, выбирайте любую из них. Некоторым удобна последняя, ведь она получается естественным образом из плоскостной. (См. Рис. 6.)

К системе координат на плоскости добавили ось

Рис. 6. К системе координат на плоскости добавили ось

Ветка. Правая и левая тройки

Рассмотрим тройку векторов , , , отложенных от одной точки . Эта тройка векторов называется правой, если векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае тройка называется левой.

На рисунке (См. Рис. 7.) справа изображена правая тройка векторов, а слева – левая. Это также полностью соответствует правилам правой и левой руки из физики.

Левая и правая тройки

Рис. 7. Левая и правая тройки

Координаты точки в пространстве

Оси обозначаются  (ось абсцисс),  (ось ординат) и  (ось аппликат). (См. Рис. 8.)

Названия координатных осей

Рис. 8. Названия координатных осей

Соответствующие плоскости – , ,  – координатные плоскости. (См. Рис. 9.) Как и на плоскости, у каждой оси в пространстве есть положительное направление и отрицательное.

Координатные плоскости

Рис. 9. Координатные плоскости

Координаты точки в пространстве определяются аналогично плоскостным. Рассмотрим произвольную точку  и проведем через нее плоскости, параллельные координатным. Эти плоскости пересекут наши оси в точках  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ),  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ) и  (точка пересечения параллельной плоскости с осью ). (См. Рис. 10.)

Точки пересечения параллельных плоскостей с осями координат

Рис. 10. Точки пересечения параллельных плоскостей с осями координат

Тогда абсцисса точки  – это  (в случае если  лежит на положительной полуоси) и , если  – на отрицательной. (См. Рис. 11.)

Абсцисса точки  в зависимости от расположения точки

Рис. 11. Абсцисса точки  в зависимости от расположения точки

Аналогично определяются ордината и аппликата. Записывают координаты в круглых скобках через точку с запятой: , где , ,  (либо , ,  – в зависимости от расположения на осях координат). Не пишите координаты точки через запятую, чтобы не спутать с десятичными дробями.

У точки могут быть и нулевые координаты, если она лежит в координатной плоскости. Например, если взять точку в плоскости , то ее координаты имеют вид . А точка на оси  имеет координаты . Начало же координат – точка  – имеет координаты . (См. Рис. 12.)

Точки с нулевыми координатами

Рис. 12. Точки с нулевыми координатами

Координаты вектора в пространстве

Как и на плоскости, отложим на каждой оси от начала координат в положительном направлении по вектору, длины которых будут равны . Эти векторы называют единичными, или ортами. Обозначают их соответственно , ,  (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Орты , ,

Эти векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости, а значит, каждый вектор пространства можно единственным образом разложить по векторам , , : . Такие коэффициенты ; ;  называют координатами вектора и пишут:  – в фигурных скобках. (См. Рис. 14.)

Координаты вектора через орты

Рис. 14. Координаты вектора через орты

Так, например, вектор .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием «система координат в пространстве» и выяснили, как задаются координаты точки и координаты вектора.

 

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
  2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002
  3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, 2013

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Cleverstudents.ru (Источник).
  3. Alwebra.com.ua (Источник).

 

Домашнее задание

  1. На каких расстояниях от координатных плоскостей находится точка
  2. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси. Если да, то укажите эту ось. , , , ,
  3. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости. Если да, то назовите ее. , , , , .