Классы
Предметы

Объем пирамиды и конуса

На этом уроке мы выведем и докажем формулы для нахождения объема пирамиды и конуса, а также формулы для нахождения объема усеченного конуса и усеченной пирамиды.

Введение

Легко или сложно вычислять объемы? Пока мы умеем находить лишь объемы параллелепипедов, цилиндров и призм, поэтому задача вычисления объемов кажется довольно легкой. Действительно, и формулы доказывались без труда, и вычисления были не слишком громоздкими. Собственно, формула для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда известна еще с начальной школы.

Идея была относительно проста. Мы ввели объем куба, через него нашли объем прямоугольного параллелепипеда, по сути, «разбив» его на кубики, отсюда пришли к призмам, а от них – к цилиндрам. Но в случае пирамиды и конуса «разбить» их на кубики не получится.

Хотя древние греки пробовали. В V веке до н. э. греческим математиком Демокритом было высказано предположение, что объем пирамиды равен трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Доказать это не смог ни он, ни получивший позднее тот же результат Евклид. Впрочем, данная формула подтверждалась практикой – действительно, мы можем измерить объем любой конкретной пирамиды с любой степенью точности. Например, если взять пирамидку и заполнить ее чем-нибудь (водой, песком), а потом вычислить объем того, чем мы заполняли. Впрочем, ученые и по сей день пытаются разбить призму на три равных пирамиды, что доказало бы формулу.

Объем пирамиды и усеченной пирамиды

В наши дни формула давно доказана. И сделано это с помощью интегралов. Помним, что , где  – это площадь сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной некоторой оси, которую мы провели.

С помощью этого метода выведем объем пирамиды. Начнем с объема треугольной пирамиды.

Рассмотрим пирамиду  ( – вершина), обозначим ее объем через ; площадь ее основания ; ее высота  (см. Рис. 1).

Пирамида

Рис. 1. Пирамида

Проведем ось , совпадающую с лучом . Рассмотрим произвольную точку  на этой оси внутри пирамиды. Через эту точку проведем сечение , перпендикулярное нашей оси. Помним, что , где  – площадь сечения  (см. Рис. 2). Выразим, чему равно .

Проведенные ось  и перпендикулярное оси сечение

Рис. 2. Проведенные ось  и перпендикулярное оси сечение

Заметим, что : из того, что плоскости  и  перпендикулярны оси , следует, что плоскости параллельны, а значит, ,  и . Тогда получается, что ,  и , откуда следует, что  (по третьему признаку подобия) (см. Рис. 3).

Подобные треугольники

Рис. 3. Подобные треугольники

Найдем, чему равен коэффициент подобия .

Рассмотрим  и . Они подобны с тем же коэффициентом , т. к. , а значит, . Из условия  и пусть , тогда . Получаем, что .

Учитывая, что , получаем ; .

Окончательно,

 

Итак, мы доказали, что объем треугольной пирамиды .

Осталось вывести формулу для произвольной пирамиды. Это делается просто: разбиваем произвольную пирамиду на треугольные (см. Рис. 4).

Разбиение произвольной пирамиды на треугольные

Рис. 4. Разбиение произвольной пирамиды на треугольные

Тогда

Итак, окончательно, теорема, которую мы доказали: объем пирамиды равен трети произведения площади ее основания и высоты .

В качестве следствия можно доказать и формулу для вычисления объема усеченной пирамиды (см. Рис. 10): , где  – высота усеченной пирамиды, а и – площади ее оснований.

Усеченная пирамида

Рис. 10. Усеченная пирамида

Доказательство (без интеграла)

Докажем, что . Как и в первом доказательстве, мы докажем формулу для треугольной пирамиды, а как она обобщается до произвольной, вы уже знаете.

Пусть  – треугольная пирамида,  – вершина,  – основание (см. Рис. 5).

треугольная пирамида

Рис. 5.  – треугольная пирамида

Дополним эту пирамиду до призмы с тем же основанием и высотой (см. Рис. 6).

Призма

 Рис. 6. Призма

Эта призма составлена из трех пирамид: данной ,  и  (см. Рис. 7).

Призма из трех пирамид

Рис. 7. Призма из трех пирамид

Рассмотрим исходную пирамиду  и пирамиду . Заметим, что у них  (как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали  в параллелограмме ). Высоты, проведенные из точки  на каждую из этих плоскостей, совпадают  (см. Рис. 8).

Высота, проведенная к плоскости

Рис. 8. Высота, проведенная к плоскости

Раз у пирамид  и  равны высоты и основания, то равны и объемы (следует из равенства объемов равновеликих тел).

Аналогично если рассмотреть пирамиды и , то , т. к.  (как треугольники, образовавшиеся при проведении диагонали  в параллелограмме ). Высоты, проведенные из точки  на каждую из этих плоскостей, совпадают  (см. Рис. 9). То есть площади оснований и высоты равны.

Высота, проведенная к плоскости

Рис. 9. Высота, проведенная к плоскости

Получили, что все три пирамиды имеют один и тот же объем , то есть , откуда . Теорема доказана.

Объем усеченной пирамиды

Итак, пусть у усеченной пирамиды  основания имеют площади ; высота – . Достроим эту усеченную пирамиду до обычной пирамиды. Пусть  – вершина пирамиды. Опустим высоту, она пересечет основания в точках и соответственно. Пусть  (см. Рис. 11).

Иллюстрация к условию

Рис. 11. Иллюстрация к условию

Заметим, что  и коэффициент подобия  (обосновывалось раннее).

Тогда очевидно, что объем усеченной пирамиды равен разности объемов большой пирамиды и малой, то есть:

 .

Осталось найти .

Из того, что  получаем   (в силу того что это соответствующие отрезки подобных фигур, чьи площади нам известны).

С другой стороны,  (было выведено ранее), тогда .

Значит, ; ; .

Окончательно,


в силу формулы разности кубов. Что и требовалось доказать.

Пример 1

Закрепим выведенную формулу объема пирамиды примером.

Чему равен объем  правильной треугольной пирамиды , если , ? (См. Рис. 12.)

Иллюстрация к задаче

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

Решение. Как мы знаем, .

Поскольку в основании лежит правильный треугольник (см. Рис. 13), то .

Правильный треугольник в основании

Рис. 13. Правильный треугольник в основании

Найдем высоту  из прямоугольного треугольника . Гипотенуза  , а катет – радиус описанной окружности, который равен , то есть  (см. Рис. 14).

Стороны

Рис. 14. Стороны

Отсюда по теореме Пифагора . А значит, объем равен

.

Ответ: .

Объем конуса и усеченного конуса

Теорема. Объем конуса (см. Рис. 15) равен , где  – радиус основания конуса,  – его высота.

Конус

Рис. 15. Конус

Формула для вычисления объема конуса в точности совпадает с аналогичной формулой для пирамиды, так как конус – это, по сути, и есть пирамида, только в основании лежит «бесконечноугольник» – окружность (см. Рис. 16).

Многоугольник, стремящийся к окружности

Рис. 16. Многоугольник, стремящийся к окружности

Если подставить в формулу объема пирамиды площадь основания конуса, то есть площадь круга, то мы и приходим к формуле .

Доказывается же формула для конуса абсолютно аналогично пирамиде. Рассматривается такая же ось, отмечается точно такое же подобие, а дальше берется тот же самый интеграл (см. Рис. 17).

Иллюстрация для доказательства формулы

Рис. 17. Иллюстрация для доказательства формулы

Аналогичным выглядит и следствие про усеченный конус (см. Рис. 18):  Доказательство абсолютно аналогично тому, что было приведено для усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида

Рис. 18. Усеченная пирамида

Заключение

Сегодня были выведены новые формулы: объема пирамиды  и объема конуса , объема усеченных пирамиды и конуса  – и был разобран пример, иллюстрирующий эти формулы. Более подробно разобраться с формулами поможет решение задач с использованием этих формул.

 

Список литературы

  1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
  2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
  3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Edu.sernam.ru (Источник).
  2. Yaklass.ru (Источник).
  3. Yaklass.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Вычислите объем правильной усеченной треугольной пирамиды, если стороны ее оснований равны  см и  см, а перпендикуляр, который соединяет основания, равен  см.
  2. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания  пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
  3. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.