Классы
Предметы

Решение задач. Цилиндр

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач. Цилиндр

На этом уроке мы рассмотрим решения задач на цилиндр. Для решения задач нам потребуется вспомнить формулы для нахождения боковой и полной поверхностей цилиндра, а также элементы цилиндра и их свойства.

Введение

Простейшие задачи на цилиндр связаны с величинами площади поверхности, радиуса и оси, например, найти радиус, если даны площадь и ось. Но такие задачи мы уже разобрали в предыдущем уроке, а сейчас рассмотрим лишь одну аналогичную задачу, после чего перейдем к чуть более сложным конструкциям и идеям.

Решение задач

Задача 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.

Решение. Вспомним формулу: . Нам даны  и диаметр. Можно, конечно, найти радиус, но делать это необязательно, ведь формулу можно переписать так: . И тогда .

Ответ: 8.


Задача 2. Одна цилиндрическая бочка в два раза шире другой, зато вторая в три раза выше. У какой бочки площадь боковой поверхности больше и во сколько раз? (См. Рис. 1.)

Решение 1. («в лоб»)

Эту задачу проще всего решить, вспомнив формулу площади боковой поверхности. Как мы знаем, .

Пусть радиус основания первой бочки равен , а высота – . Тогда площадь ее боковой поверхности есть .

Далее, у второй бочки радиус основания в 2 раза меньше (то есть ), но высота в три раза больше ().

Имеем: .

Тогда .

Ответ: в 1,5 раза.


Решение 2. Возьмем за эталон площадь боковой поверхности первой бочки. Как тогда изменится выражение для второй? Радиус в два раза меньше, значит, площадь станет в два раза меньше. Но высота в три раза больше, итого получаем, что нужно умножить площадь боковой поверхности на 3 и разделить на 2 (см. Рис. 2). Значит, вторая площадь больше в полтора раза.

Ответ: в 1,5 раза


Задача 3. Площадь основания цилиндра (см. Рис. 3) относится к площади его осевого сечения как . Найти угол между диагоналями осевого сечения.

Решение. Вспомним формулы. Пусть радиус основания равен , высота – . Тогда площадь основания ; площадь осевого сечения – . По условию они относятся как , значит, после сокращения имеем: .


Теперь рассмотрим выносной рисунок прямоугольника, являющегося осевым сечением. (См. Рис. 4.)

Его стороны –  и , причем мы знаем, что . Значит, это квадрат, а тогда его диагонали перпендикулярны.

Ответ: .

Задача 4. Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника  вокруг стороны , а другой – вокруг стороны . А) докажите. Что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. Б) найдите отношение площадей полных поверхностей цилиндров, если , .

Решение.

 

Давайте сразу для удобства введем обозначения из пункта б): , . (См. Рис. 5.)

 
Рассмотрим первый цилиндр. Если мы вращаем прямоугольник вокруг , то высота полученного цилиндра будет равна , а радиус основания – . (См. Рис. 6.)

Тогда .

 

Аналогично для второго:  – высота,  – радиус основания. (См. Рис. 7.)

Имеем: .

Видно, что площади равны, что и доказывает пункт а)

Теперь найдем площади полных поверхностей.

.

Аналогично, .

Тогда .

Ответ: .

Задача 5. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания – 5 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси до плоскости этого сечения. (См. Рис. 8.)


Решение.

Для начала поймем, что надо найти. Искомое расстояние – перпендикуляр из центра основания на хорду, отсекаемую в основании. Докажем это. Во-первых, данный отрезок перпендикулярен оси (а по определению расстояния, искомый отрезок должен быть перпендикулярен и оси, и плоскости сечения). Во-вторых, он перпендикулярен хорде и образующей, лежащим в плоскости сечения, а тогда, по признаку, он перпендикулярен всей плоскости. Итак, что найти – поняли.

Очевидно, одна из сторон квадрата равна высоте, т. е. оси, а значит, и вторая равна ей же. Таким образом, сечение отсекает от основания хорду длиной 8 см.


Сделаем отдельный рисунок окружности нижнего основания.(См. Рис. 9.) Радиус окружности – 5, хорда длины – 8, нужно найти расстояние от радиуса до хорды. Очевидно, это просто высота равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основой 8. Найти ее несложно: она же является и медианой, значит, делит хорду на 4 и 4.

Так что искомое расстояние равно 3 по теореме Пифагора (или из того, что треугольник египетский).

Ответ: 3 см.

Заключение

Сегодня мы решили несколько задач как простых, так и сложных, таким образом закрепив раннее полученные знания.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2002.

3. В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «ЕГЭ maximum.ru» (Источник)

2. Интернет портал «Я Класс» (Источник)

3. Интернет портал «Математика? Легко!» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная , образует с плоскостью основания угол . Найти боковую поверхность цилиндра.

2. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту в 3 раза?

3. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что при штамповке площадь листа не изменилась, определите диаметр листа.