Классы
Предметы

Два метода для скрещивающихся прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Два метода для скрещивающихся прямых

На данном уроке мы рассмотрим некоторые важные определения и понятия касательно скрещивающихся прямых. Также изучим два метода для скрещивающихся прямых, метод перпендикулярной плоскости и координатный метод, решим задачи по каждому методу.

Определение угла скрещивающихся прямых и расстояния между ними

Известно, что для скрещивающихся прямых типовыми являются задачи по нахождению угла и расстояния между ними, мы рассмотрим два метода решения этих задач:

1. Метод перпендикулярной плоскости

2. Координатный метод

Определение

Скрещивающимися прямыми называются такие прямые, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1).

Скрещивающиеся прямые

 Рис. 1. Скрещивающиеся прямые

Для этих прямых существуют две основные задачи:

  • Нахождение угла между прямыми
  • Нахождение расстояния между этими прямыми

Для решения первой задачи выбирается любая удобная (для конкретной задачи) точка () и проводится прямая  параллельная прямой , прямая  параллельная прямой  (рис. 2).

  
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Рис. 2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми  и  называется углом между скрещивающимися прямыми  и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра, существует единственный перпендикуляр  (рис. 1), который перпендикулярен первой и второй прямой, так вот расстоянием между прямыми  и  является длина перпендикуляра .

Метод перпендикулярной плоскости

Метод перпендикулярной плоскости:

Есть две прямые  и , они скрещиваются (рис. 3).

Метод перпендикулярной плоскости

Рис. 3. Метод перпендикулярной плоскости

Рассмотрим плоскость  перпендикулярную прямой , это первое действие в методе, надо найти такую плоскость, которая перпендикулярна одной из прямых, например прямой .

Следующее действие – найти проекцию этих прямых на плоскость , проекцией прямой  на плоскость  является точка , проекцией прямой  на плоскость  является прямая .

Далее найдем расстояние от точки  до прямой , в этом случае мы находим расстояние  между скрещивающимися прямыми. Углом является угол , таким образом, с помощью метода перпендикулярной плоскости, решаются в общем виде две важнейшие задачи.

Координатный метод

Координатный метод начинается с выбора удобной системы координат, и далее учитываются свойства скрещивающихся прямых.

Пусть заданы две прямые, прямая  и прямая .

На прямой  выбирается вектор , на прямой  выбирается вектор  (рис. 4):

Выбор векторов на скрещивающихся прямых

 Рис. 4. Выбор векторов на скрещивающихся прямых

Известно, что через прямую  можно провести единственную плоскость , которая будет параллельна прямой , аналогично через прямую  можно провести единственную плоскость , которая параллельна прямой . Таким образом, мы имеем пару параллельных плоскостей.

Каким образом решаются две основные задачи?

Косинус угла между векторами и между прямыми находится следующим образом: модуль скалярного произведения  на , деленный на модуль вектора  и модуль вектора .

Ясно, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между плоскостями , можно взять удобную точку  и найти расстояние от точки  до плоскости , координатный метод легко позволяет это сделать.

Решение задач методом перпендикулярной плоскости

Далее рассмотрим детали методов на примере конкретной задачи:

В пирамиде

Точки  – середины ребер  и  (рис. 5).

Найти: угол ; расстояние  между прямыми  и

Решение:

Иллюстрация к задаче

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Задана пирамида , в основании лежит равносторонний треугольник, известна длина стороны, ребро  перпендикулярно плоскости, и длина этого ребра тоже известна. Точка  – середина , точка  середина , есть прямая  и прямая , ясно, что они скрещиваются, нам требуется найти угол и расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Решаем первую задачу.

Поведем  и , тогда ,  – это искомый угол, действительно, удобной оказалась точка  и угол находится в треугольнике , значит, необходимо найти его элементы:

Нашли одну сторону искомого треугольника, далее докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором один из катетов уже найден. Второй катет  находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :

Первая задача решена.

Решаем вторую задачу (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация ко второй части задачи

Напомним: необходимо найти расстояние, между скрещивающимися прямыми  и , используем метод перпендикулярной плоскости.

Значит, нужно построить плоскость  перпендикулярную прямой .

 по условию перпендикулярно ,  перпендикулярно  по построению, значит, прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым, значит, она перпендикулярна всей плоскости , таким образом, за плоскость  удобно взять плоскость :

Нашли плоскость , далее необходимо спроектировать обе прямые на эту плоскость:

Таким образом, искомое расстояние  – это расстояние между точкой  и прямой , т. е. в треугольнике  проводим высоту , это и будет искомое расстояние.

Находим расстояние через площадь треугольника :

Ответ: искомое расстояние есть .

Решение задач координатным методом

Решение задач координатным методом (рис. 7).

Решение задачи координатным методом

Рис. 7. Решение задачи координатным методом

Вводим удобную систему координат , далее находим координаты интересующих нас точек (линейные размеры мы все уже нашли):

Далее находим координаты интересующих нас векторов:

Далее по известной формуле находим cos искомого угла :

Ответ: искомый угол .

Решаем вторую задачу координатным методом.

Необходимо через прямую  провести плоскость  параллельно второй прямой , нам известно, что точки  лежат на плоскости, которая параллельна прямой .

Нужно найти 4 числа

Подставляем координаты точки  в уравнение плоскости:

Имеем всего три уравнения для четырех неизвестных  Данная система имеет бесчисленное множество решений, нам достаточно найти одно из них.

Учтем следующие обстоятельства: плоскость  явно не проходит через начало координат, поэтому , удобно положить :

Подставляем в уравнение координаты любой точки лежащей на прямой , удобно взять точку :

Ответ: .

Задача решена.

Вывод

На данном уроке мы рассмотрели два метода для скрещивающихся прямых, метод перпендикулярной плоскости и координатный метод, решили задачи по каждому методу.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл./Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ-2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ-2009/Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Cleverstudents.ru (Источник).
  2. Cleverstudents.ru (Источник).
  3. E-savchen.ucoz.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Найдите расстояние между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра, длина ребра которого равна 1.
  2. В кубе  найдите расстояние между прямыми  и . Длина ребра куба равна 3.
  3. Длина ребра правильного тетраэдра  равна 1. Найдите угол между прямыми   и   где  – середина ребра L – середина ребра .