Классы
Предметы

Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Комбинации геометрических фигур: задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду

На этом уроке мы повторим теоретические сведения о двугранном угле и сфере, вписанной в этот угол, решим несколько задач на сферу, вписанную в треугольную пирамиду.

Повторение теории о линейном и двугранном угле

Вспомним определение линейного и двухгранного угла, а также некоторые свойства.

1. Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями (), имеющими общую границу – прямую l. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранногоугла.

Рис. 1. Двугранный угол

Двугранный угол измеряется линейным углом. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре l, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны ребру. Получили , который является линейным углом двугранного угла.  – плоскость линейного угла.

 

2. Рассмотрим свойство плоскости γ линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла, а именно ребру и двум плоскостям.

 

3. На плоскость γ весь двугранный угол проецируется в угол (рис. 2), то есть угол  – проекция двугранного угла на плоскость γ.

 

                                  

Рис. 2. Иллюстрация к свойству

Биссекторная плоскость, её свойства

Рассмотрим биссекторную плоскость и вспомним её свойства.

Биссекторная плоскость  двугранного угла  – геометрическое место точек, равноудалённых от граней  данного угла (рис. 3).

Рис. 3. Биссекторная плоскость

Спроектируем данную фигуру на плоскость линейного угла, то есть на плоскость, перпендикулярную ребру l. Ребро l проектируется в точку, плоскости  – в прямые. Весь двугранный угол проектируется в угол . Биссекторная плоскость проектируется в луч OQ(рис. 4).

                                  

Рис. 4. Иллюстрация к свойству

Так как любая точка (Q), лежащая на биссекторной плоскости (, равноудалена от граней  двугранного угла, то в двугранный угол можно вписать сферу. Следовательно, если сфера  вписана в двугранный угол , это означает, что  – касательные плоскости. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости (). Расстояние от вершины угла (т. O) до точки Q равно расстоянию от центра сферы до ребра l двугранного угла (.

Задача 1 (нахождение радиуса сферы, вписанной в двугранный угол)

Двугранный угол равен . Расстояние между его ребром и центром вписанной сферы равноc. Найдите радиус сферы.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Дано:;

Найти:

Решение:

На рисунке 5 изображена проекция двугранного угла (он проектируется в угол ). Отрезок QA, равный радиусу вписанной в угол сферы, найдём, рассмотрев треугольник QAO. Этот треугольник прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости (). Угол , так как ,  – биссекторная плоскость, следовательно, OQ – биссектриса. Гипотенуза . Катет QA лежит напротив угла , поэтому он равен половине гипотенузы:

 

 

Ответ:

Задача 2 (построение центра сферы, вписанной в пирамиду, нахождение её радиуса)

1. Построить центр Qсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC.

2. Найти радиус сферы, если AB = a, угол наклона боковой грани к основанию ABC равен .

1. Дано: ;  (рис. 6).

Найти: 1.т.Q; ; 2. r

Решение:

Центр Qсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC, – это точка, равноудалённая от всех граней пирамиды. Докажем, что т. Q равноудалена от основания и одной из боковых граней (для других граней доказательство производится

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

аналогично).

а) Выберем точку  так, что . Проведём ,  – высота , следовательно, угол  – линейный угол двугранного угла при основании .

б) Построим биссектрису угла .

в) На пересечении биссектрисы и высоты пирамиды DH получим точку Q. .

г) Докажем, что точка Q – центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC. Для этого из этой точки опустим перпендикуляр на апофему  (.  перпендикулярен всей плоскости ABD, так как, по теореме о трёх перпендикулярах,  (проекцией является прямая , которая перпендикулярна ). Таким образом,  – расстояние от точки  до плоскости ABD. – расстояние от точки  до плоскости .  (  по трём углам). Следовательно, точка  – центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC.

2. Мы узнали, что радиус вписанной сферы – это прямая . Найдём длину этой прямой из прямоугольного треугольника .

а) Катет этого треугольника  является радиусом окружности, вписанной в равносторонний треугольник , у которого , следовательно:

 

б) Угол , так как  – биссектриса угла .

в) Мы знаем значение катета и прилежащего к нему угла, следовательно, катет  равен:

 

 

Ответ:  

Задача 3 (нахождение радиуса сферы, вписанной в пирамиду, через объём пирамиды)

Дано:  – объём пирамиды DABC; S – площадь полной поверхности пирамиды (рис. 7).

Найти: r – радиус вписанной в пирамиду сферы.

Решение:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Соединим центр  вписанной в пирамиду сферы с вершинами пирамиды, тем самым разделим пирамиду DABC на четыре пирамиды . Объём пирамиды DABCравен сумме объёмов этих пирамид:

 

Формула расчёта объёма пирамиды:

, где S – площадь основания пирамид, h – высота пирамиды.

Высота каждой пирамиды равна r – радиусу вписанной в пирамиду сферы.

 

 – сумма площадей оснований пирамид , то есть площадь полной поверхности пирамиды DABC, равной S по условию:

 

 

Отсюда r – радиус вписанной в пирамиду сферы равен:

 

Ответ:  

Задача 4 (нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности)

Дано: S – площадь ; p – полупериметр  (рис. 8).

Найти:r – радиус вписанной в  окружности.

Решение:

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Обозначим стороны .

Площадь  состоит из суммы площадей трёх треугольников .

 

Площадь треугольника вычисляем по формуле:

 , где a – сторона треугольника, h – высота, опущенная на эту сторону.

 , где h = r – радиус вписанной в  окружности.

 

 – полупериметр .

 

Отсюда r – радиус вписанной в  окружности равен:

 

Ответ:

Подведение итогов урока

На уроке мы рассмотрели пирамиду и вписанную в неё сферу, решили типовые задачи по данной теме.

 

Список литературы

  1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
  2. Геометрия. 10–11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
  3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.
  4. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..
  5. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. E-science.ru (Источник).
  3. Uznateshe.ru (Источник).
  4. Problems.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. В правильной треугольной пирамиде MABC сторона основания равна , а боковое ребро 5. Найдите объем вписанного в пирамиду шара.
  2. Ребро PA пирамиды PABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 1. В треугольнике ABC угол при вершине прямой, а каждый из катетов AB и AC равен 2. Точки и – середины AC и BC соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC
  3. Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60ᵒ
    В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой а, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°. Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую а. Найдите радиус меньшей сферы.