Классы
Предметы

Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Комбинация геометрических фигур. Задачи на призму и сферу

На данном уроке мы вспомним основные необходимые для решения задач опорные факты о многогранниках, решим задачи на вписанную и описанную сферы для призмы, в частности для единичного куба.

Основные опорные факты

В любой многогранник входят:

- ребра;

- двугранные углы.

Любое ребро многогранника имеет плоскость симметрии, а именно такую плоскость, которая проходит перпендикулярно ребру через его середину (рис. 1).

Рис. 1. Плоскость симметрии ребра

; ;

Все точки плоскости симметрии  равноудалены от вершин ребра – концов отрезка . Так, плоскость  есть ГМТ, равноудаленных от вершин ребра.

Если все плоскости симметрии ребер многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр описанной сферы.

Каждый двугранный угол многогранника имеет биссекторную плоскость – она делит угол пополам (рис. 2).

Рис. 2. Биссекторная плоскость двугранного угла

 – ребро,

Биссекторная плоскость есть ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от граней двугранного угла

Если все биссекторные плоскости многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр вписанной сферы.

Пусть существует вписанная в многогранник сфера с центром в точке . Это означает, что все биссекторные плоскости пересеклись в этой точке. Вписанная сфера касается всех граней многогранника, ее центр удален от всех граней на расстояние  – радиус сферы (рис. 3).

Рис. 3. Вписанная сфера

Пусть существует описанная сфера. Тогда все вершины многогранника лежат на описанной сфере и центр описанной сферы удален от всех вершин на расстояние :

Рис. 4. Описанная сфера

Задачи на единичный куб

Задача 1

Найти радиусы вписанной и описанной сфер для единичного куба (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Точка  – середина диагонали  куба – есть центр вписанной и описанной сфер. Точка  равноудалена от всех вершин куба, так как все диагонали куба равны, пересекаются в одной точке и ею делятся пополам. Так, расстояние от точки  до вершины куба есть величина постоянная, равная искомому радиусу описанной сферы.

Расстояние  между плоскостями оснований куба есть диаметр вписанной сферы.

Ответ: .

Задача 2

Около единичного куба описана сфера. Найти радиус окружности в сечении сферы плоскостью грани куба (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Итак, проанализировав условие, требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника . Плоскость грани  рассекает описанную сферу по окружности – ее радиус и нужно найти. Искомым радиусом будет отрезок .

Рассмотрим отдельно квадрат  и описанную около него окружность. Сторона квадрата равна единице по условию, найдем радиус описанной окружности:

Ответ: .

Задачи на треугольную призму

Задача 3

В правильную треугольную призму вписана сфера радиуса . Найти длину бокового ребра и длину ребра основания (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Напомним: то, что призма правильная, означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

То, что в призму можно вписать сферу, означает, что существует точка , равноудаленная от всех граней. Эта точка лежит в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром .

Так,

Несложно заметить: .

Чтобы найти длину ребра основания, спроецируем чертеж на плоскость. Тогда призма проецируется в треугольник , в котором задан радиус вписанной окружности. По условию треугольник равносторонний. Рассмотрим треугольник . В нем катет , острый угол равен . В таком случае, второй катет .

Ответ: боковое ребро призмы равно ; ребро основания равно .

Задача 4

Все ребра правильной треугольной призмы равны 1. Найти радиус описанной сферы (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Центр  описанной сферы лежит в плоскости симметрии ребер  и . Точка  – центр треугольника . Точка  – центр треугольника . Точка  – середина отрезка , она равноудалена от всех вершин призмы. Этот факт следует из равенства прямоугольных треугольников , эти треугольники равны по двум катетам.

Так, из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора:

Пояснение:  как радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.

Ответ: .

Вывод

Итак, мы рассмотрели задачи на комбинацию призмы и сферы, вписанной и описанной. В следующем уроке будут рассмотрены задачи на комбинацию круглых тел.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)

2. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)

3. Интернет-сайт terver.ru (Источник)

4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Можно ли вписать/описать сферу около шестиугольной призмы? В каких случаях это возможно?

2. Найти радиус описанной сферы для прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5, 11, 7.

3. Сфера описана около четырехугольной призмы . Двугранные углы при ребрах  и  соответственно равны  и . Найти величины двугранных углов при ребрах  и .

 

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.

2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.

3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003. – М.: «Илекса», 2003.

4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. / А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.

5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.

6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.