Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Координаты. Решение более сложных задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Координаты. Решение более сложных задач

На этом уроке мы вспомним основные свойства координаты точки в пространстве, координаты вектора, решим несколько задач координатным методом.

Основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении

Повторим основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Точка A(рис. 1) задаётся тремя координатами: абсцисса – ; ордината – ; аппликата – . .

Радиус – вектор  равен:

 , где  – единичные векторы

Кратко данный вектор можно записать таким образом .  – проекция вектора  на направление ,  – проекция  на направление ,  – проекция  на направление .

Вектор  является свободным, его можно откладывать от любой удобной точки, при этом его координаты не поменяются.

Взаимное расположение вектора  и вектора  (рис. 2) характеризуется их скалярным произведением.

Рис. 2. Взаимное расположение векторов

Скалярное произведение векторов – это произведение их модулей на косинус угла между ними.

 

Длина вектора равна:

 

Косинус угла между векторами:

 

Задача 1 (нахождение уравнения плоскости)

Найти уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

Дано: ;  (рис. 3)

Найти: плоскость α

Решение:

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Возьмём произвольную точку  в плоскости . , так как, по определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости.

Скалярное произведение векторов , так как .

Определим координаты вектора . Для этого из координат точки M вычтем координаты точки .

 

Запишем скалярное произведение векторов  и :

 

 

Это и есть уравнение плоскости, которая проходит через точку  перпендикулярно  вектору.

В этом уравнении раскроем скобки и обозначим известные данные за d:

 

 

 

Ответ: , где

Задача 2 (нахождение уравнения плоскости)

Дано:;  (рис. 4)

Найти: плоскость  ()

Решение:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

1. Найдём координаты вектора , который перпендикулярен плоскости .

 

 

2. В предыдущей задаче мы вывели уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку  перпендикулярно вектору.

 

Подставим в это уравнение известные значения:

 

 

Ответ:  

Задача 3 (определение расстояния от точки до плоскости)

Найти расстояние от заданной точки до заданной плоскости.

Дано:  – плоскость α; т.  (рис. 5)

Найти:

Решение:

Расстояние от точки до плоскости – перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

1. Нормируем уравнение плоскости, то есть обе части уравнения плоскости делим на длину нормального вектора :

 

2. В нормированное уравнение плоскости подставляем заданные координаты точки  и получим формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости:

 

Ответ:  

Задача 4а (вычисление угла между двумя прямыми в кубе)

Дано: – куб; ; точки E и F – середины рёбер  и AD соответственно (рис. 6).

Найти: а)Угол между прямыми  и EF .

Решим данную задачу координатным методом.

1. Вводим оси координат .

2. Найдём координаты интересующих нас точек. Так точка B – начало координат, а данный куб единичный, то , , , .

3. Зная координаты точек, найдём координаты интересующих нас векторов:

 

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

4. Найдём косинус угла между векторами  и :

 

 

, следовательно,

а) Ответ:

Задача 4б (нахождение уравнения плоскости в кубе)

Найти: б) уравнение плоскости DEF

Решение:

Уравнение плоскости имеет такой вид:

 

Нам нужно найти a, b, c, d. Мы знаем координаты точек , , , которые лежат в плоскости DEF. Подставляем координаты точек в уравнение и получаем систему из трёх уравнений относительно четырёх неизвестных.

 

Нам достаточно найти любое конкретное решение данной системы, поэтому выберем число . Плоскость DEFне проходит через начало координат, поэтому d не может быть равным 0.

 

Таким образом, если мы приняли , то одно из решений системы будет таково: .

Подставляем эти данные в уравнение плоскости:

 

б) Ответ: уравнение плоскости DEF  .

Задача 4в (определение расстояния от точки до плоскости в кубе)

Найти: в)  – расстояние от точки  до плоскости .

Решение:

Мы знаем уравнение плоскости DEF; и координаты точки.

1. Нормируем уравнение плоскости DEF. Нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты , то есть . Длина этого вектора равна:

 

Обе части уравнения  делим на :

 

2. В нормированное уравнение плоскости подставляем координаты точки  и находим расстояние от точки до плоскости:

 

в) Ответ: 

Задачу 4в можно решить геометрическим способом. Для этого из точки нужно провести перпендикуляр на прямую DE и доказать, что это перпендикуляр ко всей плоскости DEF, далее в плоскости  нужно найти искомое расстояние, решив соответствующую планиметрическую задачу.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили основные сведения о координатах точки в пространстве, координатах вектора, о скалярном произведении и решили несколько задач координатным методом.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Составить уравнение плоскости по точке   и вектору нормали 
  2. Найти угол между плоскостью α и прямой, проходящей через начало координат и точку M (-2, 4, - 3). Вычислить расстояние от точки M до плоскости α:
  3. Найти величины углов между диагоналями единичного куба и диагоналями его граней.