Классы
Предметы

Координаты. Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Координаты. Решение задач

Этот урок посвящён решению задач координатным методом. Для начала вспомним начальные сведения о координатах точки, координатах вектора. Далее рассмотрим общий вид задач, связанных с координатами одной и двух точек, а также формулы, с помощью которых эти задачи решаются. Решим несколько конкретных типовых задач

Начальные сведения о координатах точки

Рассмотрим начальные сведения о координатах точки.

Система координат

Рис. 1. Система координат

На рис. 1 изображена система координат. По оси x проходит единичный вектор , по оси y - , по оси z - . Точка A задаётся тремя координатами . Радиус-вектор точки A () задаётся теми же координатами: .

Для того чтобы получить данный вектор, нужно опустить из точки Aперпендикуляр  на плоскость xy, из точки  опустить перпендикуляры на оси x и y, из точки A опустить перпендикуляр на ось z. Получили точки на осях . Следовательно, вектор  равен: .

На этих трёх векторах () можно построить параллелепипед, в котором OA – это диагональ.

 – проекция вектора  на направление ;  – проекция вектора  на направление ;  – проекция вектора  на направление :

Для примера рассмотрим соотношение . Oy перпендикулярна , так как  перпендикуляр к плоскости xy; Oy перпендикулярна  (по построению), следовательно, Oy перпендикуляр к плоскости , а значит, и к любой прямой в этой плоскости, в том числе и к AC. Всё это означает, что  – проекция вектора  на направление :.

Длина вектора  находится по формуле .

В этой формуле используется свойство прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (длина, ширина, высота).

Общий вид и решение задач, связанных с координатами одной точки

Формулы для нахождения расстояния от точки A до осей координат:

Вектор  имеет три направляющих угла: угол α с осью x, угол β с осью y, угол γ с осью z:

Направляющие косинусы, то есть косинусы этих углов равны:

Свойство этих косинусов: сумма квадратов направляющих косинусов равна единицы – .

Общий вид и решение задач, связанных с координатами двух точек

Рассмотрим формулы для решения стандартных задач, в которых даны координаты двух точек.

На рис. 2 изображена система координат и две точки  ; . Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, находятся по формуле: .

Иллюстрация к задаче

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Вектор  находится по формуле: . Длина отрезка AB находится по формуле: .

Скалярное произведение векторов

Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и выразим его через координаты этих векторов.

Иллюстрация к задаче

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Даны два вектора ,  . Угол между векторами равен  (рис. 3). Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Выразим это произведение через координаты векторов: .

Косинус угла между векторами равен:

Проекция вектора  на направление  равна: .

Задача 1 (доказательство перпендикулярности прямых векторным способом)

Дано: ABCD – тетраэдр,  (рис. 4).

Доказать:

Доказательство:

Иллюстрация к задаче №1

Рис. 4. Иллюстрация к задаче №1

Доказательство проведём векторным способом.

1. Вводим тройку некомпланарных векторов: , , .

2. Вектора некомпланарные, поэтому через них можно выразить векторы, которые расположены по рёбрам тетраэдра: , , , , , .

3. По условию задачи, .

Следовательно,

4. Нам нужно доказать, что , то есть .

Следовательно, . Что и требовалось доказать.

Задача 2 (вычисление угла между прямыми)

Дано: ; ; ; .

Найти:  - угол между прямыми  (рис. 5).

Решение:

Иллюстрация к задаче №2

Рис. 5. Иллюстрация к задаче №2

1. Найдём координаты вектора  и : .

2. Найдём косинус угла между векторами  и : .

Косинус угла больше 0, следовательно, угол между прямыми равен .

Ответ: .

Задача 3 (нахождение параметра, при котором два вектора перпендикулярны между собой)

Дано: ; .

Найти: , при которых .

Решение:

Векторы перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Ответ:.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели основные сведения о координатах и решили некоторые типовые задачи координатным методом.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Домашнее задание

  1. Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 435, 442, 461.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Clck.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Ege-ok.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Mathprofi.ru (Источник).