Классы
Предметы

Круглые тела. Сфера

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Круглые тела. Сфера

Этот урок посвящён повторению темы «Сфера». На нём мы вспомним определение сферы, уравнение сферы, площадь сферы, а также объём шара, который ограничивает сфера. Рассмотрим касательную и секущую прямую, плоскость к сфере. Далее решим несколько задач, в которых будем находить элементы рассматриваемого круглого тела

Определение сферы и основные формулы

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Такая точка называется центром сферы, расстояние от данной точки до всех точек – радиусом сферы.

Сфера в координатной плоскости

Рис. 1. Сфера в координатной плоскости

Запишем уравнение сферы, для этого построим оси координат (рис. 1). Точка  – центр сферы, R – радиус сферы, то есть расстояние от точки  до произвольной точки , лежащей на сфере.

 

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Шар описывается следующим неравенством: .

Площадь сферы находится по формуле: .

Объём шара: .

Касательная и секущая плоскость, их свойства

Рассмотрим касательную плоскость к сфере. Плоскость α называется касательной к сфере, если она со сферой имеет только одну общую точку (точку касания) (рис. 2).

Касательная плоскость к сфере

Рис. 2. Касательная плоскость к сфере

Плоскость является касательной к сфере тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к плоскости: .

Рассмотрим секущую плоскость. Построим сферу и оси координат (рис. 3). Плоскость, перпендикулярная оси z и проходящая через точку  рассекает плоскость по окружности. Докажем это.

Секущая плоскость

Рис. 3. Секущая плоскость

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения сферы (центр сферы – начало координат) и перпендикулярной оси z плоскости: .

Подставим z в первое уравнение: . Получили формулу окружности.

Секущая и касательная  прямая и их свойства

Дана сфера и точка A вне сферы (рис. 4). AT – касательная прямая к плоскости, AB – секущая прямая (точки C и B – общие для сферы и для прямой AB), AC – внешняя часть секущей AB;  – секущая прямая,  её внешняя часть.

Секущая и касательная прямая

Рис. 4. Секущая и касательная прямая

Запишем теорему для секущих и касательных прямых к сфере: произведение секущей на внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной – .

Задача 1 (нахождение касательной к сфере)

Дано: ;  (рис. 4).

Найти: .

Решение:

Найдём внешнюю часть касательной.

 

По теореме о секущих и касательных прямых: .

l

Ответ: .

Задача 2 (определение уравнения сферы и нахождение радиуса окружности в сечении этой сферы)

2.1. Напишите уравнение сферы с центром в точке  радиуса .

Решение:

Уравнение сферы в общем виде:  , где (a;b;c) – координаты центра сферы.

Следовательно, уравнение данной нам сферы выглядит так: .

Ответ:.

2.2. Найдите радиус окружности в сечении данной сферы плоскостью (xy).

Решение:

Уравнение данной сферы  , а уравнение плоскости (xy) – это .

 

Подставляем в первое уравнение значение z: .

Получили уравнение окружности в сечении данной сферы, следовательно, радиус этой окружности равен 4.

Ответ: 4.

Задача 3 (нахождение радиуса сферы и координат центра сферы)

Найдите координаты центра и радиус сферы  .

Решение:

Решение будет осуществляться с помощью выделения полного квадрата.

Получили уравнение сферы, из которого видим, что координаты центра сферы , а радиус сферы равен .

Ответ:; .

Задача 4 (нахождение расстояния от центра сферы до плоскости)

Дано: точки A, B, C лежат на сфере радиуса 13; .

Найти: расстояние от центра сферы до плоскости ABC.

Решение

Иллюстрация к задаче №4

Рис. 5. Иллюстрация к задаче №4

На рис. 5 изображены данные нам элементы.  – радиус сферы (O – центр сферы). Стороны получившегося  нам известны. Мы получили пирамиду, у которой все рёбра известны, нужно найти расстояние от точки O до плоскости ABC.

OH – искомое расстояние, то есть высота пирамиды, найдём место расположения точки H. Мы получили три равных прямоугольных треугольника:  (по катету OH и гипотенузе). Следовательно, , то есть точка H – центр описанной около  окружности.  прямоугольный, так как .

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, следовательно, точка H – середина AB и высота проектируется в эту точку.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора, найдём OH: .

Ответ: .

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели сферу, решили задачи на нахождение элементов этого круглого тела.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5.  Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Домашнее задание

  1. Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 582, 580, 578.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Sernam.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Clck.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Varson.ru (Источник).