Классы
Предметы

Объемы круглых тел

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Объемы круглых тел

На этом уроке мы рассмотрим основные формулы, с помощью которых вычисляются объемы круглых тел: цилиндра, конуса и шара. Вспомним, как образуются эти фигуры вращения, а также решим типовые задачи на нахождение объема.

Напоминание, способ получения цилиндра и конуса, формулы их объема

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Имеем прямоугольник , стороны прямоугольника полностью его определяют (рис. 1). Прямоугольник вращаем относительно прямой , в результате чего получаем цилиндр. Два элемента, которые полностью определяли исходный прямоугольник, теперь полностью определяют цилиндр: R – радиус основания, , h – высота, , h перпендикулярна плоскости основания. Таким образом получается цилиндр. Его объем равен:

Рассмотрим конус (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Конус получается из прямоугольного треугольника  вращением его относительно одного из катетов, например SO. Конус, как и прямоугольный треугольник, задается двумя элементами: это могут быть радиус основания R и высота h или радиус основания R и образующая l. Объем конуса равен:

Задача №1, отношение объемов цилиндра и конуса при равных высотах и радиусах оснований

Дано: R и h – радиус и высота цилиндра и конуса.

Найти: отношение их объемов.

Решение:

Ответ:

Замечание: данное соотношение справедливо, когда радиусы основания и высота цилиндра и конуса одинаковые.

Задача №2, вычисление объема цилиндра

Площадь основания цилиндра равна 25 см2, а площадь осевого сечения равна 16 см2.

Дано: ,

Найти: V.

Решение

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна 2R, а вторая сторона равна h (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Найдем радиус основания цилиндра из формулы площади основания, которое является окружностью:

Найдем высоту цилиндра из формулы площади осевого сечения, которое является прямоугольником:

Найдены все элементы, чтобы найти искомый объем:

Ответ:объем цилиндра равен  (см3)

Задача №3, вычисление объема цилиндра

Плоскость проходит через хорду AB основания цилиндра параллельно его оси и на расстоянии 4 от нее; AB = 6, образующая цилиндра равна 10. Найти его объем.

Дано: AB=6, , .

Найти:V.

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

AB – хорда в основании, расстояние между плоскостью ABB1A1и осью OO1равняется 4, BB1– образующая, плоскость ABB1A1параллельна оси OO1(рис. 4). Нам важно расстояние между осью и плоскостью.

Пусть H – середина AB, тогда отрезок OH перпендикулярен AB в силу того, что треугольник OAB равнобедренный. OH перпендикулярен A1A в силу того, что A1A перпендикулярен всей плоскости основания.

Значит, OH перпендикулярен плоскости сечения ABB1A1, а с другой стороны OH перпендикулярен OO1. Значит, OH – это расстояние между осевой прямой OO1и плоскостью сечения ABB1A1, значит, OH=4. Запишем более кратко:

Теперь найдем радиус основания ():

Теперь нам все известно для нахождения объема:

Ответ:.

Задача №4 про шар и касательную к нему

К сфере проведена касательная AT = 6 и секущая AC, проходящая через центр, причем ее внешняя часть AB=4. Найти объем шара.

Дано: AT=6, AB=4, OB=OC=R

Найти: V

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Замечание: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной .

Рассмотрим прямоугольный треугольник  (рис. 5).

По теореме Пифагора имеем:

Зная радиус, можем найти объем шара:

Ответ:.

Задача №5, вычисление объема тела вращения

Треугольник ABC вращается относительно прямой AB, найти объем тела вращения.

Дано: CA=CB=5, AB=8

Найти: V

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

 по условию, равнобедренный. Так как вращение происходит относительно прямой AB, любая точка, в том числе точка C, описывает окружность с радиусом CH, где H это середина AB(рис. 6).

Видим, что треугольник  прямоугольный. Он вращается относительно своего катета AH. Второй такой же треугольник , так же прямоугольный, тоже вращается относительно своего катета HB.

Искомый объем тела вращения состоит из объемов двух равных конусов.

Вычислим радиус R из  (, так как H – середина AB):

Найдем объем одного из конусов:

Найдем объем тела вращения, помня, что конусы равны:

Ответ: .

Вывод

Мы научись решать задачи, требующие нахождения объема круглых тел.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.
  3. Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Nsportal.ru (Источник).
  2. Mathb.reshuege.ru (Источник).
  3. Mathb.reshuege.ru (Источник).
  4. Mathb.reshuege.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. № 713, № 667, № 670 (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян)