Классы
Предметы

Объемы тел. Объем пирамиды и объем призмы

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Объемы тел. Объем пирамиды и объем призмы

На этом уроке мы повторим понятия «пирамида» и «призма». Также вспомним формулы расчета объемов этих фигур и решим наиболее часто встречающиеся задачи по нахождению объемов пирамиды и призмы в пространстве.

Пирамида, формула вычисления объёма пирамиды

Вычислить объём тела – это значит сравнить его с эталоном, например с кубическим сантиметром. Сравнение происходит с помощью формул.

Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки, не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

На рисунке 1 изображена пирамида SABCD. Точка S не лежит в плоскости основания (многоугольника ABCD) и соединена с вершинами многоугольника. Перпендикуляр SH – высота пирамиды.

Рис. 1. Пирамида

Формула для вычисления объёма пирамиды:

, где S – площадь основания пирамиды (ABCD), h – высота пирамиды ()

Если плоскость, тогда вершину S можно двигать по плоскости β в любом направлении, объём пирамиды при этом не изменится. Фигуры, у которых одинаковые объёмы, называются равновеликими. То есть пирамиды SABCD и  равновеликие.

 

Призма, формула вычисления объёма призмы

Призма – это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями – параллелограммы.

На рисунке 2 изображена наклонная призма. Многогранники  и  в основаниях лежат в параллельных плоскостях, равны и расположены так, что боковые рёбра () между собой параллельны.

Рис. 2. Наклонная призма

Формула для вычисления объёма призмы:

 , где S – площадь основания ( или ), h – высота между основаниями, которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы ().

Если мы рассмотрим пирамиду , то её объём будет равен:

, где V­ – объём призмы

Задача 1 (нахождение объёма пирамиды)

Дано:  – треугольная призма;  – объём призмы;  – секущая плоскость (рис. 3).

Найти: 1.  – объём пирамиды ; 2.  – объём фигуры над секущей плоскостью; 3.  – объём пирамиды ; 4.  – объём пирамиды

Решение:

1. Найдём объём пирамиды :

 , где  – объём призмы

Так как , то

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2. Для нахождения объёма верхней части из общего объёма вычтем объём нижней части, то есть объём пирамиды :

 

 

3. Найдём объёмпирамиды  и . Для этого рассмотрим боковую грань призмы .Это параллелограмм, следовательно, площадь треугольника  равна площади треугольника . А так как эти треугольники являются основаниями пирамид  и , то такие пирамиды равновеликие, то есть их объёмы равны и в сумме дают объём верхней части .

 

 

Ответ: 1. ; 2. ; 3.; 4.

Задача 2 (нахождение объёма многогранника с помощью формулы объёма пирамиды)

Дана правильная треугольная призма  (рис. 4), площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .

Дано: ; ;  – секущая плоскость.

Найти:

Решение:

Секущая плоскость делит призму на две фигуры.

1. Найдём объём призмы .

 ,  – площадь основания призмы,  – высота призмы

 

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

2. Найдём объём пирамиды , то есть части призмы, находящейся над секущей плоскостью .

 , где  – основание пирамиды,  – высота пирамиды

 

3. Искомый нами объём – это объём фигуры , которая находится под секущей плоскостью  , следовательно, её объём равен:

 

 

Ответ:  

Задача 3 (нахождение объёма пирамиды)

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны  и , высота пирамиды равна 4. Найти объём данной пирамиды.

Дано: ; ; (рис. 5).

Найти:

Решение:

Вспомним формулу вычисления объёма усечённой пирамиды:

1.  , где   – высота усечённой пирамиды,  – площадь нижнего основания (),  – площадь верхнего основания ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

2. Дана правильная усечённая пирамида, следовательно, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника равна:

 , где a – длина стороны треугольника

Площадь нижнего основания:

 

Площадь верхнего основания:

 

3. Подставляем известные значения в формулу объёма усечённой пирамиды:

 

Ответ:

Задача 4 (нахождение объёма призмы)

Расстояние между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 3; 4; 5, боковое ребро равно 10. Найдите объём призмы.

Дано: ; ; ; ; ;  (рис. 6).

Найти:

Решение:

В решении этой задачи используем такую формулу нахождения объёма призмы:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

 , где  – площадь перпендикулярного сечения;  – боковое ребро призмы.

Чтобы получить расстояние между боковыми рёбрами, берём любую точку K на одном из рёбер (в нашем случае ), проводим перпендикуляр (KL) к этому ребру в одной плоскости и перпендикуляр (KN) к этому же ребру в другой плоскости. Боковое ребро перпендикулярно по построению двум пересекающимся прямым из плоскости KLN, следовательно, все боковые рёбра перпендикулярны этой плоскости, поэтому ; ; . Плоскость KLN – перпендикулярное сечение призмы. Найдём площадь этой призмы:

 прямоугольный, так как видим, что сумма квадратов стороны  и  равна квадрату стороны  (теорема Пифагора). Площадь прямоугольного треугольника равна

 , где a и b – длина катетов

 

Подставим значение площади перпендикулярного сечения и длины боковой грани в формулу объёма призмы:

 

Ответ:

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили формулы расчёта объёмов призмы и пирамиды. Решили задачи с использованием этих формул.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
  2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
  3. В прямом параллелепипеде  диагонали  и  взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.