Классы
Предметы

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Расстояние между скрещивающимися прямыми

На этом видеоуроке мы научимся находить расстояние между скрещивающимися прямыми. Рассмотрим задачу по нахождению этой величины с подробными комментариями учителя. Для этого возьмем куб с заданным ребром и выведем формулу расчёта расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, которое будет равно длине их общего перпендикуляра.

Геометрия. 11 класс

Тема урока: Расстояние между скрещивающимися прямыми

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

2011 г.

 

Рассмотрим задачу на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Рисунок

Пусть нам дан куб АВСDА1В1С1D1, ребро которого равно единице АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми АВ и DC1: ρ(АВ;DС1) – ?

Эти две прямые лежат в параллельных плоскостях: АВ лежит в плоскости АА1В1В, DС1 лежит в плоскости D11С. Найдем сначала перпендикуляр к этим двум плоскостям. Таких перпендикуляров на рисунке много. Это отрезок ВС, В1С1, А1D1 и AD. Из них имеет смысл выбрать тот отрезок, который не только перпендикулярен этим плоскостям, а значит перпендикулярен и нашим прямым АВ и DC1, но и проходит через эти прямые. Такой отрезок – AD. Он одновременно перпендикулярен прямой АВ, потому что перпендикулярен плоскости АА1В1В и прямой DC1, потому что перпендикулярен плоскости D11С. И значит, что AD – это общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АВ и DC1. Расстояние между этими прямыми – длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка АD. Но AD – это ребро куба. Следовательно, расстояние равно 1:

ρ(АВ;DС1)=AD=1

Рассмотрим ещё одну задачу, чуть более сложную, о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть нам дан опять куб, ребро которого равно единице. Нужно найти расстояние между диагоналями противоположных граней. То есть, дан куб АВСDА1В1С1D1. Ребро АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми ВА1 и DC1: ρ(А1В;DС1) – ?

Эти две прямые скрещивающиеся, значит, расстояние – это длина общего перпендикуляра. Можно не рисовать общий перпендикуляр, а сформулировать следующим образом: это длина перпендикуляра между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Прямая ВА1 лежит в плоскости АВВ1А1, а прямая DC1 лежит в плоскости D1DCC1. Они параллельны, значит, расстояние между ними и есть расстояние между этими прямыми. А расстояние между гранями куба – это длина ребра. Например, длина ребра ВС. Потому что ВС перпендикулярно и плоскости АВВ1А1, и плоскости DСС1D1. Значит, расстояние между прямыми, данными в условии, равно расстоянию между параллельными плоскостями и равно 1:

ρ(А1В;DС1)=ВС=1

Рассмотрим ещё одну задачу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть у нас дана правильная треугольная призма, у которой известны все ребра. Нужно найти расстояние между ребрами верхнего и нижнего оснований. То есть нам дана призма АВСА1В1С1. Причем, АВ=3=АА1. Нужно найти расстояние между прямыми ВС и А1С1: ρ(ВС;А1С1) – ?

Поскольку эти прямые скрещиваются, то расстояние между ними – это длина общего перпендикуляра, или длина перпендикуляра к параллельным плоскостям, в которых они лежат. Найдем эти параллельные плоскости.

Прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая А1С1 лежит в плоскости А1В1С1. Эти две плоскости параллельны, поскольку это верхнее и нижнее основания призмы. Значит, расстояние между нашими прямыми – это расстояние между этими параллельными плоскостями. А расстояние между ними равно в точности длине бокового ребра АА1, то есть равно 3:

ρ(ВС;А1С1)=АА1=3

В данной конкретной задаче можно найти не только длину общего перпендикуляра, но и построить его. Для этого мы из всех боковых рёбер выбираем такое, которое имеет общие точки с прямой ВС и А1С1. На нашем рисунке это ребро СС1. Оно будет перпендикулярно прямой А1С1, поскольку перпендикулярно плоскости верхнего основания, и прямой ВС, поскольку перпендикулярно плоскости нижнего основания. Таким образом, мы можем найти не только расстояние, но и построить этот общий перпендикуляр.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить длину общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми.