Классы
Предметы

Расстояние между точками

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Расстояние между точками

На этом уроке мы вспомним, как рассчитывается расстояние между точками, решив для этого несколько задач.

Задача 1 (вычисление расстояния между точками в правильном тетраэдре)

В правильном тетраэдре ABCD(рис. 1), длина ребра которого – , точка E делит AB пополам, а точка F делит DC пополам. Найти расстояние между точками E и F.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Дано:; ;

Найти:

Решение:

Расстояние между точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки, поэтому нам нужно найти длину отрезка EF. Для этого отрезок (чтобы вычислить его по теореме Пифагора) удобно поместить в прямоугольный треугольник.

1. Опускаем из точки F перпендикуляр на плоскость ABC (. Так как DC проектируется на плоскость ABC в OC, то точка F проектируется в точку K, которая принадлежит отрезку OC (. Точка F – середина DC, поэтому точка K – середина OC.

Нам дан правильный тетраэдр, следовательно, в основании лежит правильный треугольник, а вершина D проектируется в центр треугольника (т. O), который является точкой пересечения медиан и делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Учитывая это, получаем:

 

 

Следовательно:

 

2. Мы создали прямоугольный треугольник EFK, из которого найдём гипотенузу EF. Для этого с помощью равностороннего треугольникаABC найдём катет EK

, где EC – высота

 

 

DO найдём из прямоугольного треугольника DOCпо теореме Пифагора. Так как тетраэдр правильный, то .

 

 

Так как , то

 

3. Подставим значение  и  в формулу теоремы Пифагора и найдём искомый отрезок:

 

 

Этот отрезок можно было найти другим способом. EF – общий перпендикуляр к прямым ABи DC, поэтому треугольник EFC – прямоугольный (), из этого треугольника EF найти проще, но потребовалось бы доказательство, что  и , что гораздо сложнее, чем создать прямоугольный треугольник.

Ответ:  

Задача 2 (вычисления расстояния между точками в четырёхугольной призме)

В основании прямой четырёхугольной призмы лежит ромб, острый угол которого равен 60. Боковое ребро призмы равно 1, а большая диагональ – 2. Найти расстояние между смежными вершинами ромба.

Дано:; ;  (рис. 2)

Найти:

Решение:

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

1.  является большей диагональю призмы, так как проекция этой диагонали на плоскость основания – диагональ AC – является большей диагональю ромба (BD лежит против угла 60, а AC – против угла 120).

2. Расстояние между точками A и B – это длина отрезка AB. Обозначим:

 

3. Вычислим длину диагонали ромба AC:

 

Отрезок AO найдём из прямоугольного треугольника AOD:

 

 (диагональ ромба делит угол при вершине пополам)

 

 

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём , , . Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:

 

 

 

 

Ответ:  

Задача 3 (вычисление расстояния между точками в правильной треугольной призме)

В правильной треугольной призме  (рис. 3) длина бокового ребра , а сторона основания. Точка D делит сторону  верхнего основания пополам. Найти расстояние между точками Aи D.

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дано:; ;

Найти:

Решение:

Нам следует найти длину отрезка AD, для этого опустим перпендикуляр из точки D на плоскость основания ABC (. Так как точка  – середина , то точка K – середина CB. Мы получили прямоугольный треугольник ADK, в котором AD является гипотенузой. В этом треугольнике  катет  (так как ), а катет AK найдём из треугольника ABC.

AK – высота , следовательно:

 

 

Запишем для  теорему Пифагора и подставим известные значения:

 

 

 

Ответ:  

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили, как находится расстояние между точками в пространстве.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. Fizma.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. В правильной шестиугольной призме  все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и .

2. В правильной треугольной пирамиде SABC (рис. 4), N – середина ребра BCS – вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

3. Найдите расстояние между вершинами С и  прямоугольного параллелепипеда  (рис. 5), для которого АВ = 5, AD = 4,  = 3.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче