Классы
Предметы

Расстояние от точки до прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Расстояние от точки до прямой

На этом занятии мы научимся рассчитывать расстояние от точки до прямой. На примере заданной правильной треугольной призмы выведем формулу расчёта расстояния от любой точки до прямой линии (например, от угла призмы до противоположной стороны). Вместе с преподавателем решим пример, используя записанную формулу расчёта.

 

ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС

Тема урока:

Расстояние от точки до прямой

Тер-Ованесян Геворк Левонович
учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса г. Москва

2011

 

Рассмотрим следующую задачу.

Рисунок

Пусть дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. В основании лежит правильный треугольник АВС, сторона которого равна √7, а боковое ребро призмы АА1 тоже равно √7: АВ=√3=АА1. Требуется найти расстояние от точки В до прямой А1С1: ρ(В;АС1) – ?

Возьмем точку К1 – середину ребра А1С1. Рассмотрим треугольник А1ВС1 – он равнобедренный, поскольку отрезки А1В и ВС1 – диагонали квадратов АА1В1В и С С1В1В. Квадраты равны, значит, диагонали у них равны, следовательно, треугольник А1С1В – равнобедренный. Значит ВК1 является не только медианой, но и высотой в этом треугольнике.

А1В=ВС1 => ВК1┴А1С1

Поскольку расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, следовательно, расстояние, которое нас спрашивают – это длина отрезка ВК1.

Для того чтобы его найти рассмотрим треугольник А1К1В – он прямоугольный, значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого сначала найдем гипотенузу ВА1 – это диагональ квадрата и равна:

ВА1=√(АВ2+АА12)= √14

А1К1 – это половина ребра А1С1 и равно:

А1К1= ½ А1С1=√7/2

Осталось написать теорему Пифагора и найти катет ВК1:

ВК1=√(А1В21К12)= √(14-7/4)= ½ √49= 3,5

Рассмотрим еще одну задачу.

Рисунок

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS, у которой сторона основания равна 1 и боковое ребро тоже равно 1: АВ=1=АS. Нужно найти расстояние от точки В до ребра SD: ρ(В;SD) – ?

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Рассмотрим плоскость SDB и опустим в этом треугольнике перпендикуляр ВК. Мы не знаем, куда попадет точка К, то есть где находится основание перпендикуляра. Но у нас это и не спрашивают. Нас только спрашивают длину отрезка ВК. Поэтому мы можем не выяснять место положение точки К, а поступить следующим образом.

Найдем сначала все нужные нам элементы в треугольнике DSB:

DS=SB=1 нам даны,

ВD – диагональ квадрата, лежащего в основании: ВD=√2

Рассмотрим треугольник ВОS. В нем ОВ – это половина диагонали квадрата:

ОВ= ½ ВD=√2/2

SO – высота пирамиды по теореме Пифагора будет:

SO=√(SB2-ОВ2) =√(12- ½ 2)= 1/√2

Теперь можно рассмотреть треугольник ВСD. Запишем его площадь двумя способами. С одной стороны – это полу произведение основания BD на высоту SO. А с другой стороны – это полу произведение основания SD на высоту ВК. Если в это равенство подставим все известные нам величины, а именно: BD, SO и SD, то мы получим уравнение, в котором нам не известно только ВК:

SBSD= ½ BD*SD= ½ BK*SD

½ *√2 * 1/√2= ½ BK*1

BK=1

Если бы нас спросили место положение точки К, то теперь мы можем легко ответить на этот вопрос, поскольку мы знаем и ВК и BD, и могли бы найти DK по теореме Пифагора. Но поскольку нас спрашивают только расстояние, то оно равно 1. 

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение расстояния от точки до прямой.

Рисунок

Пусть нам дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 1. АВ=1. Нужно найти расстояние от вершины нижнего основания до диагонали куба: ρ(В;СА1) – ?

Поскольку расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую СА1, то мы составим треугольник СВА1 и перпендикуляр ВК. Мы не знаем, где находится точка К, зато мы можем определить вид треугольника СВА1. Прямая CВ перпендикулярна плоскости АА1В1В и значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности и прямой ВА1. Следовательно, треугольник ВА1С – прямоугольный и угол А1ВС=90°. Найдем элементы этого треугольника. ВА1 – диагональ квадрата, ВС нам известна, а гипотенуза СА1 находится по теореме Пифагора:

ВА1=√2, ВС=1

А1С=√(2+1)=√3

Теперь запишем площадь этого треугольника двумя способами: как полу произведение катетов и как половина произведения гипотенузы на высоту:

SBА1С= ½ BА1*ВС= ½ А1С*ВК

Получаем равенство, и если мы в это равенство подставим известные нам величины, то получим уравнение, в котором мы не знаем только ВК.

½ *√2 * 1= ½ √3 *BK

ВК=√2/√3=√6/3

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить расстояние от точки до прямой, расположенных в пространстве.