Классы
Предметы

Решение задач на построение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач на построение

На этом уроке мы вспомним теорию и решим типовые задачи по построению сечения.

Теоретические сведения, которые используются при построении сечения

Вспомним основные сведения, опорные факты, которые используются при построении сечения.

1.

                                                                      

Рис. 1. Иллюстрация

Если две точки прямой (l) лежат в одной плоскости (α), то и вся прямая лежит в этой плоскости (рис. 1).

 

2.

Рис. 2. Иллюстрация

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость (рис. 2).

 

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (рис. 3)

Рис. 3. Иллюстрация

4. Если в плоскости (α ) лежит прямая (a) параллельная другой плоскости (β) и эти плоскости пересекаются, то линей пересечения плоскостей будет прямая (b) параллельная прямой a(рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация

 

5.   

Рис. 5. Иллюстрация

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны (рис. 5).  

 

Задача 1 (построение сечения тетраэдра)

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Дано:ABCD – тетраэдр; ; ; ;  (рис. 6).

Построить: сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Построение:

Соединим точки M и N, продлим эту прямую до пересечения с BC(пересечение существует, так как ). Точка пересечения MNс BC – т. P лежит в плоскости ABC, то есть в одной плоскости с точкой K, следовательно, прямая PK лежит также в этой плоскости. Точка пересечения PK с BA – точка F, точка пересечения PK с AC – точка E.

 

 

Искомое сечение – четырёхугольник MNFE

Ответ: четырёхугольник MNFE

Задача 2 (построение сечения тетраэдра)

Дано: ABCD – тетраэдр; ; ; ;  (рис. 7).

Построить: сечение тетраэдра плоскостью MNK, определить вид сечения.

Построение:

Соединим точки M и N. Прямая , так как . Через точку K проводим прямую l параллельную MN. На пересечении прямой lс AB получили точкуF,

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

на пересечении l с AC – точку E. Соединив четыре точки M,N,F,E, получим искомое сечение – четырёхугольник MNFE.

Определим вид этого четырёхугольника. Знаем, что , про параллельность NF и ME мы не знаем, поэтому:

1. Если NF и ME параллельны, то четырёхугольник MNFE – параллелограмм;

2. Если NF и ME не параллельны, то четырёхугольник MNFE – трапеция.

Ответ: 1. Искомое сечение – четырёхугольник MNFE; 2. MNFEтрапеция, если ; 3. MNFE параллелограмм, если .

Задача 3 (построение сечения параллелепипеда)

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Дано:  – параллелепипед; M, N, K – середины , AB, AD соответственно (рис. 8).

Построить: сечение параллелепипеда плоскостью MNK, определить вид сечения.

Построение:

1. Соединим точки N и K. Проведём из точки M прямую, параллельную прямой NK,до пересечения с , точкой пересечения будет т. .

2. Прямая NK – линия пересечения секущей плоскостью плоскость ABCD. Продлим NK до пересечения с продлёнными прямыми CD и CB, это будут точки  и  соответственно. Эти точки не лежат на параллелепипеде, но принадлежат секущей плоскости.

 

 

3. Точка  и  лежат в одной плоскости (), соединив эти точки, получим точку  на пересечении  и ребра .

Точка  и M лежат в одной плоскости (), соединив эти точки, получим точку  на пересечении  и ребра .

 

 

Следовательно, в сечении лежит шестиугольник  с попарно параллельными сторонами:

, , , так как лежат в параллельных плоскостях.

Ответ: искомое сечение – шестиугольник  с попарно параллельными сторонами (, , ).

Задача 4 (построение сечения куба)

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Дано:  – куб; ; M, N, K – середины , AB, AD соответственно (рис. 9).

Построить: сечение куба плоскостью MNK, определить вид сечения.

Построение:

1. Соединим точки N и K. Прямая NK – линия пересечения секущей плоскостью плоскости ABCD. Продлим NK до пересечения с продлёнными прямыми CD и CB, это будут точки  и  соответственно.

Соединим M и . Продлим прямую  до пересечения с ребром , это будет точка .

Соединим точку  с точкой . Прямая  пересекает  в точке , а  – в точке .

Мы получили все точки на рёбрах, следовательно, в сечении лежит шестиугольник .

2. Определим вид шестиугольника. Рассмотрим прямоугольные  и , они равные, так как катеты у них равны.

 

Это равенство следует из того, что катеты состоят из одинаковых рёбер куба плюс одинаковых частей  и . , так как по признаку равенства треугольников . Следовательно:

 

Аналогично можно доказать, что

 

На рисунке 10 изображено данное сечение.

  

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Из построения очевидно, что у шестиугольника все стороны равны и все углы равны. Для примера рассмотрим треугольник , он равносторонний, поэтому его углы равны 60, следовательно, смежные с ними углы, а это углы шестиугольника, равны . Так можно доказать, что все углы шестиугольника равны . Отсюда следует, что шестиугольник правильный.

Ответ: искомое сечение – правильный шестиугольник .

Подведение итогов урока

На данном уроке мы повторили решения задач на построение, вспомнив основные теоретические сведения.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Clck.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Clck.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Построить сечение параллелепипеда  плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, где , .
  2. Построить сечение тетраэдра  SABC плоскостью, проходящей через данные точки  К, М, Р, где , ,  .
  3. Точка M лежит на боковой грани тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельной основанию ABC.