Классы
Предметы

Угол между скрещивающимися прямыми

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Угол между скрещивающимися прямыми

Темой этого занятия будет нахождение угла между скрещивающимися прямыми. На примере куба с известной длиной ребра рассмотрим, как можно найти угол между двумя скрещивающимися прями. Выведем формулу, которую будем применять в дальнейшем. Рассмотрим несколько примеров по нахождению этой величины, чтобы закрепить полученные знания. 

Геометрия. 11 класс

Тема урока: Угол между скрещивающимися прямыми

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

2011 г.

 

Рассмотрим задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть нам дан куб АВСDА1В1С1D1. Нужно найти угол между прямыми ВА1 и В1С. Для того чтобы построить угол между скрещивающимися прямыми, нам нужно построить угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны каждой из данных прямых. Для этого зафиксируем одну прямую, в данном случае ВА1. А вторую прямую В1С будем параллельно переносить до пересечения с прямой ВА1. Таким образом, перенеся В1С в плоскость АDD1А1, мы получим прямую А1D, которая параллельна прямой В1С и которая пересекается с прямой ВА1. Значит, угол между прямыми ВА1 и СВ1 – это угол между прямыми ВА1 и А1D, то есть угол DА1В.

Для того чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник DВА1. Этот треугольник равносторонний, поскольку стороны его – диагонали квадрата. А в кубе все грани равны. Значит, квадраты равны, и диагонали у них одинаковые. Следовательно, угол равен 60°:

<(АВ;В1С1)= <(АВ;А1D)= <ВА1D=60°

В этой же задаче можно было бы наоборот зафиксировать прямую В1С, а прямую ВА1 перенести и рассматривать треугольник В1СD1 с тем же успехом.

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть нам дан правильный тетраэдр АВСD и известны середины рёбер. Нужно найти угол между отрезком EF, соединяющим середины ребер ВС и ВD, и стороной АВ.

Поскольку тетраэдр правильный, значит, и высота DO проектируется в центр треугольника АВС. И в основании лежит правильный треугольник.

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно попробовать сделать параллельный перенос. Но если мы будем параллельно переносить прямую EF, то есть точку Е совмещать с точкой В, то прямая будет вне пирамиды. И составить треугольник, в который входит угол между этими прямыми, очень неудобно. Поэтому мы поступим следующим образом. Мы EF параллельно перенесем к DC.

Заставка на экране:

EF – средняя линия ∆СВD, поэтому EF ║СD

То есть угол между прямыми АВ и EF – это угол между прямой АВ и СD. Но поскольку пирамида правильная, то мы знаем, что угол между ними, то есть угол между ребром СD и противолежащим углом основания АВ, равен 90°. Мы это уже доказывали не раз, докажем это ещё раз.

DO – перпендикуляр к плоскости (АВС). СD – наклонная. CO – проекция этой наклонной. И эта проекция перпендикулярная прямой АВ. А значит, по теореме о трех перпендикулярах, и наклонная DC тоже перпендикулярна прямой АВ. Значит, угол между прямыми DC и АВ равен 90°. А значит, угол между прямыми EF и АВ тоже равен 90°:

<(EF;АВ)= <(DC;AB), DO┴АВС

ОС – наклонная, СК – проекция.

СК┴АВ => АВ┴CD => <(DC;AB)=90°

Сегодня на уроке мы решили несколько задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.