Классы
Предметы

Векторы. Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Векторы. Решение задач

На этом уроке мы вспомним основные сведения о векторах: что такое вектор, какие векторы называются коллинеарными. Также рассмотрим умножение вектора на число, правила сложения векторов, теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве. Далее с помощью векторов решим несколько задач

Сложение векторов, умножение вектора на число

В окружающем мире мы встречаемся с такими величинами, для которых важен не только размер, но и направление. Такими величинами являются, например, сила и скорость. В математике такие величины описываются векторами.

Вектор – направленный отрезок.

Вектор

Рис. 1. Вектор

Вектор  (рис. 1).

Коллинеарными векторами называются такие векторы, которые лежат на параллельных прямых либо на одной прямой.  (рис. 2).

Коллинеарные векторы

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Можно ввести такое число , при котором  (рис. 3). То есть умножением вектора на какое-либо число , можно растянуть или сжать вектор.

Умножение вектора на число

Рис. 3. Умножение вектора на число

Если векторы коллинеарные и сонаправленные и их длины равны, то такие векторы называются равные: .

Рассмотрим сложение векторов.

1. Правило параллелограмма (рис. 4).

Сложение векторов

Рис. 4. Сложение векторов

2. Правило треугольника (рис. 5).

 Сложение векторов

Рис. 5. Сложение векторов

Векторы на плоскости

Рассмотрим векторы на плоскости. Для этого нам необходима пара неколлинеарных векторов ().

Теорема: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. То есть существует единственная пара чисел x и y, при которой  (рис. 6).

Иллюстрация к теореме

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Векторы в пространстве

Рассмотрим векторы в пространстве. Для этого необходимо выбрать три некомпланарных вектора (.

Теорема: в пространстве любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются однозначно: . То есть вектор  однозначно разлагается по векторам , ,  с помощью чисел x, y, z (эта тройка чисел однозначная).

Объясним эту теорему (рис. 7).

Иллюстрация к объяснению теоремы

Рис. 7. Иллюстрация к объяснению теоремы

Проведём , получим точку пересечения  с плоскостью . Следовательно, , но, по правилу параллелограмма, , а так как вектор, то . Поэтому .

Задача 1 на доказательство определённого соотношения отрезков

M – точка пересечения медиан в треугольнике ABC. Точка O – произвольная точка. Доказать, что .

Дано: M – точка пересечения медиан (рис. 8).

Доказать: .

Доказательство (1 способ)

Выразим OM через векторы:

 

 

 

Складываем эти три соотношения: .

Иллюстрация к задаче

Рис. 8. Иллюстрация к задаче №1

 

 

Докажем, что . По свойству, точка пересечения медиан треугольника рассекает каждую медиану в отношении , считая от вершины. То есть ; ;  Продлим медиану  и отложим отрезок  (рис. 9).

Иллюстрация к задаче №1

Рис. 9. Иллюстрация к задаче №1

Получили четырёхугольник MBDC. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, MBDC – параллелограмм. Поэтому .

 , поэтому

Подставим эти данные в выражение , получим .

Отсюда .

Что и требовалось доказать.

Доказательство (2 способ)

Выразим OM через вектор: .

 - по свойству точки пересечения медиан треугольника.

Что и требовалось доказать.

Задача 2 на доказательство пересечения прямой и плоскости

Дан параллелепипед  (рис. 10). M – точка пересечения медиан в . Доказать: 1) диагональ  пересечёт плоскость  в точке M; 2) .

Доказательство

Иллюстрация к задаче №2

Рис. 10. Иллюстрация к задаче №2

Вводим тройку некомпланарных векторов. Пусть , , , через эти векторы можно выразить все остальные нужные нам векторы: .

Благодаря доказательству в задаче 1, знаем, что .

Вектор  и  коллинеарные, они имеют общую точку A, следовательно, точки A, M, лежат на одной прямой, поэтому прямая  пересекает плоскость  в точке M (). Что и требовалось доказать.

Отношение .

Что и требовалось доказать.

Задача 3 на доказательство равенства отрезков

Дан параллелепипед  (рис. 11). Mи N – точки пересечения медиан в  и . Доказать, что .

Доказательство

Иллюстрация к задаче №3

Рис. 11. Иллюстрация к задаче №3

В задаче 2 мы доказали, что диагональ  пересекает  в точке пересечения медиан и  . Следовательно, .

Аналогично из точки исходят три ребра, концы которых образовывают второй . Диагональ  пересекает этот треугольник в точке пересечения медиан и .

Средняя часть диагонали  равна .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

С помощью векторов мы получили важное свойство произвольного параллелепипеда: из каждого конца диагонали параллелепипеда исходят три ребра. Треугольники, образованные концами этих рёбер, пересекается диагональю параллелепипеда в точке пересечения медиан. При этом диагональ делится на три равные части.

Подведение итогов урока

На данном уроке мы вспомнили, что такое вектор, рассмотрели его свойства и решили задачи с помощью векторов.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Домашнее задание

  1. На стороне  треугольника взята точка .Доказать, что центры тяжестей и  лежат на одной прямой.
  2. Доказать векторным методом, что если в выпуклом четырехугольнике, две противоположные стороны не параллельны, длина отрезка, соединяющего середины этих сторон, равен полусумме длин двух других сторон четырехугольника, то этот четырехугольник – трапеция.
  3. На стороне треугольника взята точка  так, что , а на продолжении стороны BC такая точка N, что . В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Pm298.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Clck.ru (Источник).