Классы
Предметы

Вычисление элементов многогранника (призмы)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Вычисление элементов многогранника (призмы)

На этом уроке мы вспомним определение и свойства призмы, вычислим элементы треугольной, четырехугольной призмы.

Определения треугольной призмы

Рис. 1. Треугольная призма

1. Призма АВСА1В1С1. В основаниях лежат равные треугольники ∆ АВС = ∆ А1В1С1. Они лежат в параллельных плоскостях АВС||А1В1С1, боковые ребра параллельны между собой АА1 ||ВВ1||СС1. Боковые грани – параллелограммы.

2. Объем призмы:

V = Sосн ∙ С1Н.

С1Н – высота – это расстояние от точки С1 до плоскости АВС.

3. Полная поверхность призмы.

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок – площадь боковой поверхности; Sосн – площадь основания.

4. Объем наклонной призмы:

V = S ∙ А1А.

S – площадь перпендикулярного сечения; А1А – боковое ребро.

Выберем любую точку на ребре L и проведем перпендикуляр к ребру в одной и другой плоскости. LК⊥А1А; LМ⊥А1А. Значит, ребро А1А перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости LКМ. А1А ⊥LКМ. Но ребра АА1 ||ВВ1||СС1. Значит, ребра СС1 ⊥LКМ, ВВ1⊥LКМ.

Рис. 2. Площадь перпендикулярного сечения

Площадь перпендикулярного сечения и есть площадь ∆ LКМ (рис. 2).

SLKM = S

Решение задачи №1

Найдите боковое ребро и объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см2.

Дано:

LKM⊥ А1А, LM = 37, MK = 13, KL = 30. Sбок = 480

Найти: А1А.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение.

Расстояние между параллельными прямыми – это длина перпендикуляра между ними. Перпендикуляры: LM = 37, MK = 13, KL = 30. Имеем перпендикулярное сечение (рис. 3).

Sбок =

Учитывая, что ребра равны: Sбок = А1А  (30 + 13 + 37) = 80 А1А .

А1А  = .

2. Найдем объем, вычислив площадь перпендикулярного сечения по формуле Герона.

p – a = 40 – 37 = 3;

p – b = 40 – 13 = 27;

p – c = 40 – 30 = 10,

V= А1А = 180∙6 = 1080 см3.

Ответ: А1А = 6 см, V = 1080 см3.

Определения прямой и правильной призмы

Прямой называется призма, у которой боковое ребро, например А1А перпендикулярно плоскости основания. А1А⊥АВС. Так как боковые ребра между собой параллельны, то все боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Боковые грани – прямоугольники (рис. 4).

Рис. 4. Прямая призма

Sбок = Росн ∙ А1А

Росн – периметр основания.

В условии должны оговаривать вид призмы.

Правильная n-угольная призма

1. А1А⊥АВС, то есть это прямая призма;

2. В основании лежит правильный n-угольник АВС…

Параллелепипед и его разновидности – частный случай призмы.

Параллелепипед – это 4-х угольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (рис. 5).

1.  АВСD = A1B1C1D1 – параллелограммы, которые лежат в параллельных плоскостях ABCD||A1B1C1D1.

Боковые ребра параллельны между собой AA1||BB1||CC1||DD1.

Рис. 5. Параллелепипед

2. Частным случаем является прямой параллелепипед. Прямым он называется тогда, когда боковое ребро перпендикулярно плоскости основания AA1⊥АВС.

3. Вторым частным случаем – прямоугольный параллелепипед. Это прямой параллелепипед AA1⊥АВС, в основании которого лежит прямоугольник, то есть АВ⊥AD.

4. Третий случай – когда все измерения в прямоугольного параллелепипеда равны АВ = AD = AA1, то эта фигура – куб.

Свойства

В произвольном параллелепипеде все диагонали пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам. DB1∩CA1∩BD1∩AC1 = O.

В прямоугольном параллелепипеде длина диагоналей – сумма квадратов всех измерений.

DB12 = DA2 + DC2 + DD12

Куб задается только одним элементом: своим размером.

Решение задачи №2

Дано:

Куб. d – диагональ куба.

Найти: Sполн, V.

Решение.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Обозначим длину ребра АD = а, тогда d2 = 3а2

Ответ: S= 2d2 V =

Подведение итогов

Список литературы

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10–11 кл. – М.: Просвещение.
  2. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10–11 класса.– М.: Просвещение, 1996.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Festival.1september.ru (Источник).
  2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Чему равна площадь поверхности куба с ребром 1?
  2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота 10 см.