Классы
Предметы

Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Вычисление элементов многогранника – расстояний и углов между скрещивающимися прямыми

На уроке рассмотрим задачи на нахождение углов, косинусов этих углов и расстояния между скрещивающимися прямыми в правильной треугольной пирамиде. Также научимся находить величину ребра пирамиды, зная расстояние между ее скрещивающимися прямыми. Ознакомимся с определением правильного тетраэдра, его некоторыми свойствами.

Решение задачи №1

Задача 1

Дано:

 –  правильная треугольная пирамида (рис.1).

, высота .

Найти угол , расстояние ρ между прямыми  и .

Построить общий перпендикуляр к прямым  и .

Решение

1.      Пусть  – середина . ,  – медианы в равнобедренных треугольниках, так как  – правильная пирамида.  и  – высоты к основанию . Тогда . Отсюда . Это значит, что ( лежит в плоскости ). Таким образом, .

Рис. 1. Правильная треугольная пирамида

2 способ доказательства.

 – наклонная,  – ее проекция. Проекция наклонной  перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости . Значит, . .

2.      Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра, отрезка, который перпендикулярен  и  и концы которого лежат на данных прямых.

Построение: . Это означает, что любая прямая, которая исходит из точки  и лежит в этой плоскости, перпендикулярна . Из этого множества прямых необходимо выбрать ту, которая перпендикулярна .

Проведем высоту  в  (рис.2).  – искомый общий перпендикуляр между прямыми  и :  (по построению); , так как .

 

Рис. 2. Правильная треугольная пирамида, с проведённой высотой PQ

3.       – высота .  – высота, .

 – высота ..

 – радиус описанной окружности.

 – длина бокового ребра.  – гипотенуза .

Используя подобие двух прямоугольных треугольников  и  с общим углом  (по первому признаку, ; ), запишем: .

Ответ:  ; .

Определения правильного тетраэдра

Частный случай правильной треугольной пирамиды – правильный тетраэдр (рис. 3). В правильной пирамиде  в основании лежит правильный .

Рис. 3. Правильный тетраэдр

 не обязательно равно . Если , то DABC – правильный тетраэдр (рис. 4).

Рис. 4. Правильный тетраэдр

Правильным тетраэдром называется такая правильная треугольная пирамида, у которой ребро основания и боковое ребро равны друг другу. И, наоборот, если дана пирамида с равными ребрами, то такая пирамида – тетраэдр.

Если правильная пирамида задается двумя элементами, то правильный тетраэдр задается одним элементом. В задачах это может быть расстояние между скрещивающимися прямыми.

Решение задачи №2

Все ребра пирамиды  (рис. 5) имеют одинаковую длину. Найти эту длину, если расстояние между прямыми  и  равно .

Дано:

.

Найти: .

Решение

1)      Эта пирамида – тетраэдр. Ребро обозначим .

Пусть  и  – середины  и . .

 

Рис. 5. Пирамида

Тогда ,  – равнобедренный.  – апофемы.

, так как .

Таким образом, из свойств пирамиды,  – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

2)  – высота в равнобедренном  (рис. 6).

Рис. 6. Равнобедренный треугольник, с проведенной высотой PQ

Для , по теореме Пифагора, .

.

Ответ: .

Решение задачи №3

В правильном тетраэдре  (рис. 7) точка  – середина ребра . Найти: косинус угла между прямыми  и .

Решение

Прямая  скрещивается с прямой . Для того чтобы найти косинус угла между этими прямыми, необходимо взять удобную точку (точка  и провести прямую, параллельную прямой .

Рис. 7. Правильный тетраэдр

 – искомый угол.  – средняя линия .

                                

, так как это высоты в равных треугольниках.

Проведем медиану, биссектрису, высоту .

.

Из : .

Ответ: .

 

Список рекомендованной литературы

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 – 11 Кл. – М.: Просвещение.
  2. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Festival.1september.ru (Источник).
  2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.
  2. Постройте расстояние и угол между скрещивающимся боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.