Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Вычисление элементов многогранника – углов правильной треугольной пирамиды

В этом уроке мы вспомним, что собой представляет правильная пирамида, и рассмотрим примеры вычисления элементов такого многогранника, отдельно остановимся на вычислении ее основных углов. Запишем формулы для нахождения этих величин.

Основные определения

Правильной -угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой:

1. в основании лежит правильный -угольник,

2. вершина проецируется в центр.

Пример пирамиды, ее элементы

Правильная треугольная пирамида (рис.1):

1)   – правильный, который имеет центр и вписанной, и описанной окружности в точке  – его центре.

2)  ;  – высота пирамиды, проведенная из вершины пирамиды .

Рис. 1. Правильная треугольная пирамида

Элементы, которые задают правильную треугольную (-угольную) пирамиду:

1) В основании лежит правильный треугольник  (рис. 2): равны все стороны и углы по 60°.  – середина, то  – медиана, биссектриса, высота.  – радиус вписанной окружности ,  – радиус описанной окружности . Весь треугольник задается одним элементом: стороной  или , или .

 (следствие свойства медиан: медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2:1, считая от вершины).

.

Рис. 2. Основание  пирамиды

Из : .

.

.

Внимание: основание задается только однимэлементом.

2) Если известно основание и мы проведем перпендикуляр  (рис. 3), задав его, тогда мы зададим полностью пирамиду. Ее элементы: боковые ребра, апофема (высота боковой грани ).

Рис. 3. Высота правильной пирамиды

Таким образом, пирамиду можно задать стороной основания и высотой .

Решение задачи №1

Дано:

 – правильная треугольная пирамида (рис. 4),

,

.

Найти: двухгранный угол при основании (угол между плоскостями  и ).

Его обозначают:  (,  – точки плоскостей,  - ребро)

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Решение

1) Чтобы найти линейный угол двухгранного угла, необходимо его построить. Для этого нужно подыскать удобную точку на ребре и провести два перпендикуляра в плоскостях, в гранях. Здесь это середина  – точка .  (по свойству равнобедренного ). Аналогично .

.  – искомый угол (рис. 5).

Рис. 5. Линейный угол двухгранного угла при основании

1)      Найдем величину этого угла.

α – острый угол в прямоугольном .  – известно по условию.

;

 

 

 

Ответ:  радиан.

Решение задачи №2

Дано:

 – правильная треугольная пирамида (рис. 6),

,

.

Найти: угол наклона бокового ребра  к плоскости основания  – .

Решение: угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой  на плоскость является .

 – искомый угол.

.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

b – острый угол . .  (по условию).

 

 

 

Ответ: .

Решение задачи №3

Дано:

 – правильная треугольная пирамида,

 

 

Найти: двухгранный угол при боковом ребре .

Решение: для начала объясним обозначения этого угла (рис. 7).  – угол между плоскостями  и .

Рис. 7. Двухгранный угол при боковом ребре

 – двухгранный угол с боковым ребром .

 –  – боковое ребро,  и  точки разных полуплоскостей.

1)      Построение линейного угла.

Найти удобную точку на ребре , чтобы потом поставить к ней два перпендикуляра.

У правильной треугольной пирамиды скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Докажем это.  – проекция наклонной  на плоскость .  ( лежит в плоскости ). Значит, .

Рис. 8. Линейный угол двухгранного угла при боковом ребре

 и  – скрещивающиеся ребра и они перпендикулярны. Угол между ними 90°.

Проведем в плоскости  перпендикуляр  к .

, получим точку . Она будет удобной, потому что:

 по построению,

 по доказанному.

Значит,  перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости . .  перпендикулярна любой прямой из этой плоскости и прямой .

 – искомый угол (рис. 8).  .

2) Вычисления (рис. 9 и рис. 10):   – угол при вершине равнобедренного . Основание  известно по условию.

 – высота в равнобедренном треугольнике . В  высота  – апофема.

 

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

 

 

или  

 – прямоугольный. Чтобы найти катет , надо гипотенузу  умножить на синус противолежащего угла.

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Но синус этого угла из другого треугольника  равен  (противолежащий катет к гипотенузе ).

.

3)      Итак, необходимо найти угол .  (рис. 11).

Рис. 11. Треугольник

.

Ответ: .

Подведение итогов

Ход решения задачи:

1)      Построить линейный угол искомого двухгранного угла: подобрать хорошую точку  на ребре (нашли, проведя перпендикуляр  к ребру ). Доказали, что . , по построению.  перпендикулярна всей плоскости .  – плоскость линейного угла. Линейный угол g построен.

2)      Для вычисления необходимы элементы . Основание  – дано. Высоту  нашли по-разному из . По теореме косинусов нашли ,  выразили g.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 - 11 Кл. - М.: Просвещение.
  2. Батанова А. Фрагмент урока на тему " Предметы и их формы" // Математика, 2009, № 23.
  3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Festival.1september.ru (Источник).
  2. Festival.1september.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Сколько граней, боковых ребер у n-угольной пирамиды?
  2. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 7 см, 12 см, 5 см. Одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?