Классы
Предметы

Задачи на комбинации круглых тел

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Задачи на комбинации круглых тел

На данном уроке мы рассмотрим типовые комбинации цилиндра, конуса и сферы и решим основные задачи на нахождение различных элементов этих фигур. Повторим основные понятия и формулы, которые пригодятся при решении задач. Также вспомним, что такое осевое сечение фигуры и как удобно использовать его при решении задач с участием объемных тел.

Задача 1, типовая задача на сферу, вписанную в конус, часть 1 нахождение радиуса сферы

В конус с радиусом основания R=3 и высотой h=4 вписана сфера. Найти радиус сферы и отношение объемов конуса и шара.

Решение

1. Дано: BC=R=3, SC=h=4

Найти: OD=r.

Рассмотрим осевое сечение фигур (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABS, а сечение сферы – это окружность, вписанная в этот треугольник.

Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Используем свойство биссектрисы BO. Рассмотрим треугольник BCS:

CA=CB=R=3 – катет

CS=4 – второй катет, найдем гипотенузу SB:

Биссектриса BO рассекает противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам, то есть:

Или:

Получаем уравнение относительно r:

Ответ:

Задача 1, типовая задача на сферу, вписанную в конус, часть 2 нахождение отношения объемов конуса и шара

2. Дано:  (рис. 2)

Найти: .

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Формируем отношение объемов:

Сокращаем и подставляем известные величины:

Ответ:

Задача 2, типовая задача на конус, вписанный в сферу, нахождение радиуса сферы

Дано: радиус основания конуса r=3, а высота h=4.

Найти: радиус шара, описанного вокруг конуса.

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Имеем равнобедренный треугольник (сечение конуса) и описанную окружность (сечение шара). Задача сводится к тому, чтобы найти радиус описанной окружности.

Видим, что AC=r=3, SC=h=4.

Точка O – центр сферы, лежит на высоте .

Рассмотрим , искомый радиус будем находить из этого треугольника. По теореме Пифагора:

Подставляем известные значения высоты h и радиуса r:

Раскрываем скобки, сокращаем и приводим подобные члены:

Ответ: искомый радиус .

Задача 3, типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу, нахождение отношения объемов цилиндра и сферы

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти:

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Сечение сферы – окружность, сечение цилиндра – квадрат. Пусть r – радиус сферы.  – квадрат. Радиус цилиндра , высота цилиндра . Получаем:

Ответ:

Задача 4, типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу, нахождение радиуса сферы

Данооколо цилиндра с радиусом основания r и высотой h описана сфера.

Найти: радиус сферы

Решение

Рассмотрим осевое сечение (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

В данном случае осевое сечение цилиндра – прямоугольник , осевое сечение шара – окружность. Задача сводится к планиметрической задаче: найти радиус окружности, описанной около прямоугольника.

Рассмотрим : он прямоугольный, первый катет , второй катет . Теорема Пифагора дает уравнение для искомого радиуса:

Ответ:

Подведение итогов

Заметим, что все задачи свелись к простейшим планиметрическим задачам, несмотря на достаточно сложные формулировки задач.

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.
  3. Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mypresentation.ru (Источник).
  2. Nsportal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Стр. 156 № 643 (а, в), № 644 (Геометрия: учеб. для 10–11 кл. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)