Классы
Предметы

Начальные геометрические сведения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Начальные геометрические сведения

Этот урок посвящён повторению материала 7 класса по дисциплине геометрия. Мы вспомним понятия основных геометрических фигур – точка, прямая, отрезок, угол, а также разберёмся со взаимоотношениями этих фигур. Также мы рассмотрим основные аксиомы и теоремы планиметрии. В конце урока мы рассмотрим несколько задач, которые помогут нам закрепить пройденный материал.

Повторение основных геометрических фигур

Начнём урок с нескольких определений.

Геометрия – наука, которая занимается изучением геометрических фигур. Геометрия делится на два раздела – планиметрия и стереометрия.

Планиметрия – раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Примерами таких фигур могут быть отрезок, прямая, треугольник.

Стереометрия – раздел геометрии, раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.

Геометрическая фигура – это совокупность точек.

Повторим ключевые понятия геометрии курса 7 класса.

Рассмотрим простейшую фигуру – точку. Она обозначается заглавной буквой латинского алфавита, как показано на рисунке.

Обозначение точки в геометрии

Рис. 1. Обозначение точки в геометрии

Прямая – это совокупность точек. Любая прямая может быть обозначена двумя способами – либо прописной буквой латинского алфавита, либо названием двух точек, которые лежат на данной прямой. Например, .

Обозначение прямой в геометрии

Рис. 2. Обозначение прямой в геометрии

Очевидно, что прямая – это фигура, которая бесконечна. Любая геометрическая фигура состоит из простейших геометрических фигур – точки и прямой.

Геометрическая фигура, которая состоит из всех точек прямой, расположенных между двумя заданными, вместе с ними (концами отрезка) называется отрезком. Обозначение отрезка следующее: .

Обозначение отрезка в геометрии

Рис. 3. Обозначение отрезка в геометрии

Угол – это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначение угла может иметь вид: .

Точка  – это вершина угла,  и  – стороны угла.

Угол

Рис. 4. Угол

Теперь вспомним понятие «равные фигуры». Фигуры называются равными в случае, если их можно совместить наложением. Однако для простоты сравнения отрезков и углов вводятся понятия длина отрезка и градусная мера угла.

Отрезок измеряется в метрах (сантиметрах, километрах, миллиметрах). Чем больше длина отрезка, тем больше сам отрезок. И его можно сравнить с другими отрезками на плоскости.

Что касается угла, то градусная мера неразрывно связана с понятием развёрнутого угла.

Развёрнутый угол – это угол, стороны которого лежат на одной прямой.

Угол  развёрнутый

Рис. 5. Угол  развёрнутый

Считается, что развёрнутый угол равен . Следовательно,  градус – это  часть развёрнутого угла. В практическом применении существуют ещё такие единицы измерения угла: , . Если градусные меры двух углов равны, то и данные углы равны.

Смежные углы

Особое место занимает угол . Если развёрнутый угол разделить пополам, получим два угла по .

Угол  развёрнутый

Рис. 6. Угол  развёрнутый

На рис. 6 изображены . Углы, градусная мера которых равна , называются прямыми.

Вспомним, что такое смежные углы. Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Рис. 7.  и  – смежные

Опорный факт: сумма смежных углов :  и .

Пример 1

Решим опорную задачу.

Пример 1. Найти градусную меру угла между биссектрисами смежных углов.

Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой.

Решение

Выполним пояснительный рисунок к задаче:  и  – биссектрисы смежных углов  и  соответственно.

Рисунок к примеру 1

Рис. 8. Рисунок к примеру 1

По свойству смежных углов, их сумма равна , поэтому , но поскольку  и  – биссектрисы, то , . Подставим данные выражения в основное соотношение: . Вынесем  за скобки: .

Делаем вывод: мы можем не знать градусные меры смежных углов, однако мы знаем их сумму –  и то, что угол между их биссектрисами равен .

Ответ: .

Вертикальные углы

Теперь пришло время вспомнить, что называется вертикальными углами.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых  и  в точке .

Вертикальные углы

Рис. 9. Вертикальные углы  и

Если стороны одного угла являются продолжениям второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов:  и , а также  и .

Главное свойство данных углов состоит в том, что вертикальные углы равны. То есть , .

Закрепим наши знания с помощью конкретной задачи.

Пример 2

Пример 2.

Один из смежных углов в  раз больше другого. Найдите эти углы.

Решение

Рисунок к примеру 2

Рис. 10. Рисунок к примеру 2

Сперва мы выполнили пояснительный рисунок и нанесли на него удобные нам обозначения. Как известно, один из углов в  раз больше другого, поэтому уясним, что . Как известно, сумма смежных углов равна , поэтому .

Выполним подстановку .

Соответственно, . Действительно, .

Ответ: , .

Справка: выполнение умножения на  можно свести к небольшому правилу (см. рис. 11).

Рисунок к справке

Рис. 11. Рисунок к справке

Аксиома геометрии

Напоследок вспомним об аксиоме геометрии. Геометрическое утверждение, которое принимается без доказательств, называется аксиомой.

Аксиома: через две точки (далее – имеется в виду, через две разных точки, которые не совпадают друг с другом) можно провести прямую, и только одну.

Теорема. Рассмотрим следующую теорему: две прямые, которые пересекаются, имеют только одну общую точку.

Доказательство

Положим, что две пересекающиеся прямые имеют две общие точки. Тогда через две точки проходят две прямые, а это противоречит аксиоме 1. Следовательно, наше предположение неверно, в таком случае две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку

Рис. 12. Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку

Таким образом, на данном уроке мы закрепили свои знания, полученные в теме «Начальные геометрические сведения».

 

Список рекомендованной литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
  3. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Scienceland.info (Источник). 
  2. Bymath.net (Источник). 
  3. School-assistant.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. №15-№16. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
  2. Один из смежных углов в  раз больше другого. Найдите эти углы.
  3. На прямой  отмечена точка . Найдите длину  в дециметрах, если  см,  м.
  4. * Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?