Классы
Предметы

Общая схема решения задач на построение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Общая схема решения задач на построение

На этом уроке мы повторим, обобщим и систематизируем все знания, касающиеся решения задач на построение. Вспомним четыре этапа решения таких задач и закрепим их примерами.

Введение

Задачи на построение решаются с помощью двух инструментов: циркуля и линейки. Такие задачи включают в себя  основных этапа.

  1. Анализ задачи:
    • анализируем исходные данные,
    • ищем связь между исходными данными и искомыми элементами,
    • вырабатываем план решения;
  2. построение по намеченному плану;
  3. доказательство того, что полученная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;
  4. исследование.

В простых задачах некоторые этапы могут быть опущены.

Задача 1

Построить прямоугольный треугольник , где , если известны длины отрезков  и , на которые гипотенузу рассекает высота .

Решение

Есть искомый прямоугольный треугольник, в котором ,  – высота,  и  (Рис. 1).

Рис. 1. Искомый треугольник

То есть имеется два отрезка  и  длиной  и  соответственно (Рис. 2).

Рис. 2. Данные отрезки

Задача состоит в том, что нужно построить прямоугольный треугольник по этим данным.

Решаем поэтапно.

1. Анализ задачи (как построить искомый треугольник): можно взять любую прямую, на ней взять фиксированную точку , отложить по разные стороны от нее отрезки длиной  и , таким образом получить точки  и  (Рис. 3).

Рис. 3. Как получить точки  и

Как получить вершину ? Для начала нужно понять, что она лежит на перпендикуляре, который можно провести из вершины . Но ведь на этом перпендикуляре бесконечное количество точек. Чтобы определить, какая именно из точек является искомой точкой , нужно вспомнить свойство прямоугольного треугольника: , где  – середина гипотенузы. Отсюда следует, что точка  лежит на окружности, центр которой находится в точке  и радиус которой равен половине гипотенузы. Тогда точка  – это точка, образованная при пересечении перпендикуляра, проведенного из точки , и окружности, которой находится в точке  и радиус которой равен половине гипотенузы (Рис. 4).

Рис. 4. Местонахождение точки

2. Построение по намеченному плану

Берем прямую , на этой прямой точку . Откладываем отрезок  длиной  и отрезок  длиной . Проводим прямую  через точку  так, чтобы , и окружность с центром в точке  ( – середина ) и радиусом . Окружность пересекает прямую  в двух точках –  и . Получили треугольники  и  (Рис. 5).

Рис. 5. Выполненное построение

3. Доказательство

Но равен ли угол  и  ? , т.к. . , т.к.  (Рис. 6).

Рис. 6. ,

4. Исследование

Треугольники  и  являются искомыми (обоснование смотри в пункте  и ).

 (по катету и гипотенузе). Если считать равные треугольники за один треугольник, то задача имеет единственное решение.

Задача 2.

Построить прямоугольный треугольник по катету, разнице гипотенузы и другого катета.

Решение

По условию задачи дано: , первый катет , второй катет , гипотенуза , .

1. Анализ задачи: на произвольной прямой отложим отрезок  длиной  и из точки  проведем перпендикуляр . Получим две вершины прямоугольного треугольника  и  и прямую , где лежит вершина  (Рис. 7).

Рис. 7. Начальный этап

Мы использовали условия , первый катет . Осталось воспользоваться условием . Пусть найдена вершина  и искомый треугольник  построен (Рис. 8).

Рис. 8. Искомый треугольник

Отложим отрезок , длина которого  (Рис. 9).

Рис. 9. Отложили отрезок

Отсюда следует, что точка  равноудалена от точек  и , а значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку . Важно, что мы можем построить прямоугольный треугольник  по имеющимся по условию катетам  и  (Рис. 10).

Рис. 10. Можно построить треугольник

1. Построение по плану

  • Построить прямоугольный треугольник по двум данным катетам  и  (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к первому пункту плана

  • Строим серединный перпендикуляр  к гипотенузе полученного треугольника.  (Рис. 12).

Рис. 12.

3. Доказательство

Такая точка  действительно существует. Докажем это. Предположим, что точка  не существует. Тогда . А значит, . Тогда получается, что в треугольнике  два прямых угла, чего быть не может (Рис. 13). Значит, прямые  и  не параллельны, то есть пересекаются, тогда точка  существует.

Рис. 13. Доказательство

Выясним, как расположена точка  по отношению к точке . Из рисунка видно, что если , то точка  лежит выше точки  (Рис. 14). А если , то точка  лежит ниже точки .

Рис. 14. Иллюстрация к задаче

Заметим, что если , то треугольник не существует. Почему? Рассмотрим разность . Чтобы треугольник существовал нужно, чтобы , то есть должно выполняться условие .

, то точка  лежит выше точки , теперь можно нарисовать треугольник  (Рис. 15).

Рис. 15. Искомый треугольник

4. Исследование

Этот треугольник искомый, т.к. , , . Задача имеет единственное решение, т.к. исходный треугольник с катетами  и  единственный, серединный перпендикуляр к гипотенузе единственный и точка пересечения серединного перпендикуляра с прямой, содержащей исходный катет, единственная. Вывод: если , задача решений не имеет, если , задача имеет единственное решение.

Список рекомендованной литературы

  1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2010.
  2. Геометрия 7 класс, А.Г. Мерзляк. М.: Вентана-Граф, 2015.
  3. Геометрия 7 класс, А.Д. Александров. М.: Просвещение, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет портал «wiki.eduvdom.com» (Источник)
  3. Интернет портал «festival.1september.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.
  2. Постройте треугольник по высоте, одной из боковых сторон и разности углов при основании.
  3. Постройте остроугольный треугольник  по сумме углов  и , высоте  и стороне .