Классы
Предметы

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Соотношения между сторонами и углами треугольника

На данном уроке мы повторим наши знания по теме «Соотношение между углами и сторонами треугольника». Мы обсудим теорему о сумме углов треугольника, рассмотрим виды треугольника, познакомимся с понятием «неравенство треугольника». В конце урока решим задачу на закрепление знаний.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение, аксиома параллельности прямых

Прежде всего мы вспомним материал предыдущего урока. Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек, параллельные прямые не пересекаются.

Параллельные прямые

Рис. 1. Параллельные прямые  и

Аксиома: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, притом только одну.

Чертёж к аксиоме

Рис. 2. Чертёж к аксиоме

При решении задач необходимо пользоваться свойствами некоторых углов при параллельных прямых и секущей.

Углы при параллельных прямых и секущей

Рис. 3. Углы при параллельных прямых и секущей

Углы ,  являются соответствующими, равно как и пары углов , ; ,  и т.д.

Углы ,  называются внутренними накрест лежащими, равно как и пара углов , .

Углы ,  являются внутренними односторонними, равно как и , .

Сумма углов треугольника, виды треугольников

Рассмотрим важную теорему.       

Теорема: сумма углов треугольника составляет . .

Чертёж к теореме

Рис. 4. Чертёж к теореме

Доказательство

Дополнительное построение: проведём прямую , параллельную  и проходящую через точку . Рассмотрим углы при параллельных прямых  и секущей .  как внутренние накрест лежащие. . Углы ,,  в сумме составляют развёрнутый угол. Как известно, развёрнутый угол составляет . Поэтому . Что и требовалось доказать.

В зависимости от градусных мер углов треугольника различают такие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Виды треугольников

Рис. 5. Виды треугольников

На рисунке 5а изображён остроугольный треугольник, ведь все три угла данного треугольника меньше . На рисунке 5б изображён прямоугольный треугольник, ведь один из его углов – прямой, равен . На рисунке 5в изображён тупоугольный треугольник, так как один из его углов больше . Заметим, что в треугольнике не может быть двух углов больше или равных .

Неравенство треугольника

Рассмотрим понятие «неравенство треугольника». В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.

Неравенство треугольника

Рис. 10. Неравенство треугольника

Пусть  – наибольшая сторона треугольника , тогда . Тем не менее, любая сторона больше разности двух других: .

Теорема о внешнем угле треугольника, связи между углами и сторонами треугольника

В данный момент рассмотрим понятие «внешний угол» треугольника.

Внешний угол треугольника

Рис. 6. Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Таким образом, на рисунке рассмотрен внешний угол при вершине . Теорема гласит о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним.

Доказательство очень простое. Поскольку углы  и  – смежные, то . С другой стороны,  как углы треугольника. Отсюда следует, что . Выполним подстановку и получим, что . Следовательно, теорема доказана.

Опишем теперь взаимоотношения между сторонами треугольника. Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла – бóльшая сторона.

Внешний угол треугольника     

Рис. 7. Внешний угол треугольника

Если , то . Но не стоит забывать, что в случае равенства двух углов следует равенство двух сторон. Этим можно пользоваться, применяя признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, треугольник равнобедренный по признаку.

Равнобедренный треугольник

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

В прямоугольном треугольнике также действует данное правило.

 Прямоугольный треугольник

Рис. 9. Прямоугольный треугольник

Поскольку , то другие углы треугольника точно не равны , они меньше . Следовательно, , . В прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Пример 1

Теперь решим задачу №238 из учебника «Геометрия 7–9» Атанасяна Л.С.

Пример 1. На основании  равнобедренного треугольника  произвольно взяли точку . Докажите, что  меньше боковой стороны треугольника.

Решение

Выполним пояснительный рисунок и выполним некоторые обозначения: , .

Запишем, что  как внешний угол треугольника . Следовательно, , а значит,  (в равнобедренном треугольнике углы при основании равны). В треугольнике  против большей стороны лежит больший угол, поскольку , то противолежащие стороны имеют такое же соотношение: . Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы вспомнили, как связаны стороны и углы треугольника.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Dspace.utlib.ee (Источник). 
  2. Scienceland.info (Источник). 
  3. Festival.1september.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

  1. № 236, 237. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. под ред. Тихонова А.Н. Геометрия 7–9 классы. М.: Просвещение. 2010.
  2. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
  3. Периметр равнобедренного треугольника равен  см, а разность двух других сторон равна  см. Один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника.
  4. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен  см, а одна из сторон равна  см. Найдите две другие стороны треугольника.