Классы
Предметы

Луч и угол

На этом уроке мы познакомимся с такими базовыми понятиями геометрии, как луч и угол. Мы поговорим о том, что такое развёрнутый угол, а также решим несколько простых задач по данной теме.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Введение

На этом уроке мы поговорим о двух основополагающих понятиях геометрии – луче и угле. Эти слова вы слышали еще в детстве: солнечный луч известен каждому, кто-то мог слышать про рентгеновские лучи. Угол есть у стола, а кого-то из вас, возможно, иногда ставили в угол комнаты. Разберемся, что означают эти слова в геометрии.

Геометрический луч

На самом деле «геометрический» луч не намного отличается от солнечного. Чем интересен солнечный луч? У него есть начало – солнце, а конца нет: его можно ограничить своей ладошкой или землей, но если бы препятствия не было – он шел бы и дальше. То есть он имеет начало, а с другой стороны – бесконечен, как прямая. (См. Рис. 1.)

Солнечный луч

Рис. 1. Солнечный луч

Соответственно, определение луча:

Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка играет роль солнца – там «начинается» луч! То есть луч имеет начало, но не имеет конца, в отличие от отрезка, который ограничен с двух сторон. (См. Рис. 2.)

Различие луча и отрезка

Рис. 2. Различие луча и отрезка

Если рассмотреть горизонтальную прямую  и точку  на ней, то точка  разбивает прямую на два луча: слева и справа от . (См. Рис. 3.)

Два луча: слева и справа от М

Рис. 3. Два луча: слева и справа от

Точка  называется вершиной луча. Чаще всего луч обозначают двумя точками, например . Для этого требуется поставить точку  с нужной стороны от . То есть точка  показывает, в каком направлении идет луч, но не ограничивает его. (См. Рис. 4.)

Обозначение луча

Рис. 4. Обозначение луча

Обратим внимание на разницу между лучом , отрезком  и прямой . Отрезок ограничен обеими точками (см. Рис. 5), луч – только точкой  (см. Рис. 6), прямая – не ограничена (см. Рис. 7).

Отрезок

Рис. 5. Отрезок

Луч

Рис. 6. Луч

Прямая

Рис. 7. Прямая

Также заметим, что отрезки  и  – одно и то же, прямые  и  – тоже, а вот лучи – разные. (См. Рис. 8.)

Луч  (оранжевый) и луч  (синий)

Рис. 8. Луч  (оранжевый) и луч  (синий)

Реже луч просто обозначают малой буквой, но тут запутаться проще, так что используйте исходные обозначения.

Иногда прямые, лучи и отрезки обозначают следующим образом:  – прямая,  – луч,  – отрезок. (См. Рис. 9.)

Отрезок, луч и прямая

Рис. 9. Отрезок, луч и прямая

Введем еще одно определение. Если два луча лежат на одной прямой, имеют общую вершину, но разные направления – то их называют дополнительными. (См. Рис. 10.)

Дополнительные лучи

Рис. 10. Дополнительные лучи

Задача на лучи

На прямой отмечены точки ,  и  (именно в таком порядке). Сколько различных лучей с вершинами в данных точках мы можем назвать? (См. Рис. 11.)
Иллюстрация к задаче

Рис. 11. Иллюстрация к задачеРешение:

На самом деле таких лучей, конечно, . От каждой точки можно отложить луч как влево, так и вправо. Заметим, кстати, что лучи  и  – одно и то же (совпадают вершины, направления – тоже).

Ответ: .

Геометрический угол

Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершина. (См. Рис. 12.)

Лучи  и  – стороны угла, начало лучей  – вершина угла

Рис. 12. Лучи  и  – стороны угла, начало лучей  – вершина угла

Обозначается угол обычно тремя буквами: одна на одной стороне угла, затем – вершина, затем – точка на другой стороне угла:  или , причем . Иногда знак «» пишется над буквами, и получается: .

Обратите внимание, что в некоторых учебниках угол определен иначе – мы дали определение по учебнику Атанасяна.

Зачастую углы обозначают и греческими буквами: . (См. Рис. 13.)

Обозначение угла греческими буквами

Рис. 13. Обозначение угла греческими буквами

Наконец, угол можно обозначать через лучи, его образовывающие, например . (См. Рис. 14.) Но в задачах такое обозначение – редкость.

Обозначение угла через названия образующих лучей

Рис. 14. Обозначение угла через названия образующих лучей

Угол называется развернутым, если его стороны – дополнительные лучи. (См. Рис. 15.)

Развернутый угол

Рис. 15. Развернутый угол

Замечание 1. Обратите внимание: многие считают, что развернутый угол – . Это верно, но это не определение! Не путайте, пожалуйста! Понятие градусной меры нами в курсе геометрии пока введено не было.

Замечание 2. Углом между прямыми называется наименьший угол (или один из наименьших углов), образованный при их пересечении. (См. Рис. 16.)

Красным выделен угол между прямыми. Угол, выделенный серым цветом, не считается углом между прямыми.

Рис. 16. Красным выделен угол между прямыми. Угол, выделенный серым цветом, не считается углом между прямыми.

Области угла

У каждого угла есть внутренняя и внешняя области. (См. Рис. 17.)

Области угла

Рис. 17. Области угла

Рассмотрим . Даны несколько точек. (См. Рис. 18.)

Точки в разных областях угла

Рис. 18. Точки в разных областях угла

Заметим, что точки  и  лежат во внутренней области,  и  – во внешней, , ,  – на сторонах (на границах угла).

Задачи

Задача 1. Сколько углов на рисунке? (См. Рис. 19.)

Иллюстрация к задаче 1

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 1

Решение: угла: , , . А как же углы , , ? Они совпадают уже с упомянутыми углами, то есть ,  и .

Ответ:  угла.

Задача 2. Две прямые  и  пересекаются в точке . Сколько углов с вершинами в данных пяти точках можно назвать? (См. Рис. 20.)

Иллюстрация к задаче 2

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 2

Сразу в глаза бросаются , ,  и . Но, кроме этих углов, есть еще и развернутые углы:  и . Итого,  углов.

Ответ:  углов.

Заключение

На этом уроке были разобраны такие базовые понятия геометрии, как луч и угол. Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

 

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
  2. А.Г. Мерзляк. Геометрия 7 класс. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.
  3. А.Д. Александров. Геометрия 7 класс. – М.: Просвещение, 2013. – 176 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. School-assistant.ru (Источник).
  3. Math-prosto.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Укажите углы, внутри которых лежит точка  (см. Рис. 21).

Иллюстрация к заданию 1

Рис. 21. Иллюстрация к заданию 1

2. На прямой расположены точки. (См. Рис. 22.) Какие точки принадлежат лучу ?

Иллюстрация к заданию 2

Рис. 22. Иллюстрация к заданию 2

Начертите три луча ,  и  с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.