Классы
Предметы

Основные свойства прямоугольных треугольников

На этом уроке мы рассмотрим основные свойства прямоугольных треугольников, докажем их и решим несколько задач на закрепление нового материала.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Введение

По определению, прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором есть прямой угол (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник  ()

В прямоугольном треугольнике только один прямой угол. Если бы их было два, то тогда сумма этих двух углов уже была бы равна , а значит, на последний угол пришлось бы , чего в треугольнике быть не может (см. Рис. 2), т. к. по теореме о сумме углов треугольника .

Рис. 2. Не существует треугольника с двумя прямыми углами.

Так что можно говорить только о треугольнике, в котором один прямой угол. Вспомним, что стороны, заключающие прямой угол – катеты, а третья сторона – напротив прямого угла – гипотенуза (см. Рис. 3).

Рис. 3. Катеты и гипотенуза

Теперь вспомним, что такое «свойство». Когда объект нам уже известен и мы пытаемся найти его характеристики, то обнаруженные характеристики и являются свойствами данного объекта. Таким образом, нам будет дан треугольник с прямым углом, а мы будем из этого делать какие-то выводы.

Свойство 1 (о сумме двух острых углов)

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна  (см. Рис. 4).

Рис. 4.

Разберемся, почему речь идет именно об острых углах. Рассмотрим  (см. Рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный

Сумма всех трех углов треугольника . Как мы знаем, один из углов прямоугольного треугольника , значит, сумма оставшихся  . Из этого следует, что они острые: раз их сумма равна , то каждый из них меньше . Получили, что  , то есть свойство доказано.

Свойство 2 (когда прямоугольный треугольник является равнобедренным)

Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен , то такой треугольник – равнобедренный.

Доказательство. Пусть  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Прямоугольный треугольник с углом

Исходя из первого свойства, . Получаем, что . Тогда треугольник равнобедренный по признаку – углы при основании равны (см. Рис. 7). Значит, катеты равны .

Рис. 7. Углы при основании равны – треугольник равнобедренный

Свойство 3 (катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла )

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла , равен половине гипотенузы (см. Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация свойства 3

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть  и . Нужно доказать, что  (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Отразим зеркально  относительно катета , полученную вершину назовем  (см. Рис. 10).

Рис. 10. Отражение  относительно катета

Раз треугольник полностью «скопирован», то , . Также заметим, что  – высота и медиана образованного . Раз высота совпала с медианой, значит,  – равнобедренный () (см. Рис. 11).

Рис. 11.  – равнобедренный

Поскольку  – равнобедренный, то . Получили, что в  все углы равны, а значит,  – равносторонний (см. Рис. 12).

Рис. 12.  – равносторонний

Тогда , а, в свою очередь, , то есть , откуда . Что и требовалось доказать.

Свойство 4 (против катета лежит угол , если катет равен половине гипотенузы)

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен .

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть  и . Нужно доказать, что  (см. Рис. 13).

Рис. 13. Прямоугольный

Отразим зеркально  относительно катета , полученную вершину назовем . Образовался  (см. Рис. 14).

Рис. 14. Полученный

В  известно, что , , значит,  – равнобедренный. Кроме того, из третьего свойства известно, что . Значит, , а , отсюда . Тогда  – равносторонний (см. Рис. 15).

Рис. 15.  – равносторонний

Из этого следует, что , а тогда , т. к.  – высота, медиана и биссектриса . Что и требовалось доказать.


 

Доказательство (медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к свойству прямоугольного треугольника

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный  ,  – медиана. Нужно доказать, что . Удвоим отрезок  – получим точку  () (см. Рис. 17).

Рис. 17.

Соединим точку  с точками  и . Тогда несложно доказать, что  равны по 1 признаку (соответствующие стороны попарно равны, а углы между сторонами равны как вертикальные) (см. Рис. 18).

Рис. 18. Равенство и, и равенство соответствующих элементов

Рассмотрим . .

Теперь рассмотрим  и .  (т. к. ,  – общая,  – треугольники равны по первому признаку). Отсюда следует, что , тогда . Что и требовалось доказать.
Обратное тоже верно: если медиана в треугольнике равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный.

Примеры

1.         В прямоугольном :  и . Найти угол  (см. Рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 1

Решение. По свойству  сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , значит, .

Ответ: .

2.         Один из углов прямоугольного  () втрое меньше другого (). Найти острые углы треугольника  и  (см. Рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Ясно, что искомый угол – один из острых. Тогда он может быть меньше либо другого острого, либо меньше прямого, то есть нужно рассмотреть два варианта.

1.         Вариант первый – острый угол втрое меньше прямого. Пусть искомый угол . Тогда . Значит, по свойству 1 .

2.         Вариант второй – один острый угол втрое меньше другого острого угла. Пусть , тогда . По свойству 1 . Значит, , а тогда .

Ответ: 1.  и ; 2.  и .

3.         В прямоугольном треугольнике   катет  см, . Найти катет  (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 3

Решение. По свойству , если , то  тоже. Значит,  – равнобедренный (см. Рис. 22), у которого  см.

Рис. 22.  – равнобедренный

Ответ:  см.

4.         В прямоугольном треугольнике  () гипотенуза , а катет . Найти  (см. Рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к примеру 4

Решение

Заметим, что . По свойству 4 , т. к. лежит против катета, равного половине гипотенузы. Значит,  по свойству .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с основными свойствами прямоугольных треугольников, мы перечислили их и доказали. Кроме того, были решены задачи с применением рассмотренных свойств.

 

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. А.Г. Мерзляк. Геометрия 7 класс. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.

3. А.Д. Александров, Геометрия 7 класс. – М.: Просвещение, 2013. – 176 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Инетрнет портал «Я Класс» (Источник)

2. Инетрнет портал «Kursoteka.ru» (Источник)

3. Инетрнет портал «Formula-xyz.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Катет, лежащий против угла в , равен  см. Чему равна гипотенуза этого треугольника?

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведена медиана длиной  см. Найдите гипотенузу.

3. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна  см, один из острых углов треугольника равен . Найдите катет, лежащий против угла .