Классы
Предметы

Решение более сложных задач на построение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение более сложных задач на построение

На этом уроке вы научитесь решать более сложные задачи на построение.

Введение

Все задачи на построение решаются с помощью двух инструментов – линейки и циркуля, тремя разрешенными операциями.

1.      с помощью прямой

   

2.      с помощью прямой через две заданные точки

 

3.      с помощью окружности заданного радиуса

с центром в заданной точке

Решить задачу на построение – означает определить конечную последовательность выполнения указанных операций для получения требуемой фигуры.

Задача №351. Условие задачи

(Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил.)

Условие:

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дано:

Даны три отрезка М1N1­, М2N2­, М3N3­, (рис. 1). Требуется построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем AB и АС, равны соответственно данным отрезкам М1N1­, М2N2­,а высота АН равна отрезку М3N3­. 

   

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Анализ задачи:

Треугольник АНВ прямоугольный, его можно построить по катету и гипотенузе, треугольник АНС также прямоугольный, его тоже можно построить, в результате получим искомый треугольник АВС.

Построение треугольника

Строим прямоугольный треугольник АНВ, у которого сторона АВ равна отрезку М1N1­,  а высота АН равна данному отрезку М3N3­. На рисунке 2 изображен построенный треугольник АНВ. Затем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 3).

                    

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Выявляем случаи, когда задача не имеет решение

1. М1N1­≤ М3N3­ или М2N2­≤ М3N3­ – наклонные не могут быть меньше перпендикуляра(АВ – наклонная; АН – перпендикуляр АВ≥АН);

2. М1N1­= М2N2­= М3N3­ – треугольник превращается в отрезок.

Случаи, когда задача имеет решение

1. М1N1­= М2N2­ > М3N3­ –задача имеет единственное решение, треугольник равнобедренный (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 

2. М1N1­= М3N3­ < М2N2­ – задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 

3. М1N1­> М3N3­;

    М2N2­> М3N3­;

    М1N1­≠ М2N2­.

Берем произвольную прямую а, отметим на ней точку Н, поставим перпендикуляр и отложим отрезок АН=М3Н3. В результате получим точку А (рис. 6). Проведем окружность с центром в точке А и радиусом М1N1­, получим две точки пересечения с прямой (рис. 7). 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Проведем окружность большего радиуса с центром в точке А и радиусом М2N2, получим снова две точки пересечения с прямой. Две построенные окружности на прямой высекут четыре точки В, В1, С, С1(рис. 8). Отметим на чертеже равные радиусы АВ=АВ11N1­, АС=АС1= М2N2­, АН= М3N3­(рис. 9).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

 

Рассмотрим треугольник АВС – это искомый треугольник по построению (рис. 10). Рассмотрим треугольник АВС1это тоже искомый треугольник по построению (рис. 11).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Таким образом, в данном случае задача имеет два решения.

Все случаи рассмотрены, задача решена.

 

Список литературы

  1. Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил.  

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Slovo.ws (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил. № 352–356.
  2. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.
  3. Постройте треугольник по периметру и двум углам.