Классы
Предметы

Уголковый отражатель. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Уголковый отражатель. Типовые задачи

При помощи этого видеоурока все желающие смогут самостоятельно пройти тему «Уголковый отражатель. Типовые задачи». Данное занятие будет полезно семиклассникам, желающим больше узнать о прямоугольных треугольниках. Учитель рассмотрит уголковый отражатель и на примере типовых задач поможет выявить свойства прямоугольных треугольников, которые были использованы в этом устройстве.

Решение первой задачи по данной теме

Начнём урок с определённой задачи:

Задача 1:

На поверхность, состоящую из двух перпендикулярно расположенных зеркал, падает луч света. Докажите, что траектория луча падения будет параллельна траектории угла отражения.

Решение:

Выполним разъяснительный рисунок к этой задаче.

Рис. 1. Уголковый отражатель к задаче 1

Рассмотрим луч SM. По законам физики луч падения на поверхность равен лучу отражения от поверхности. Таким образом, ∠AMS = ∠OMN = α. Луч MN падает на поверхность NB и отражается, переходя в луч NT. Следовательно, ∠MNO = ∠TNB. Выразим данные углы через α. Из прямоугольного треугольника MON исходя из суммы острых его углов имеем, что ∠OMN + ∠TNB = 900. Отсюда ∠MNO = ∠TNB = 90о – α. Зная то, что углы ∠MNT, ∠TNB образуют развёрнутый угол, то

 .

Аналогично выразим угол SMN = 180о – 2α. Рассмотрим прямые SM и NT, а также секущую MN. Сумма внутренних односторонних углов SMN и MNT равна . Поскольку сумма внутренних односторонних углов при прямых SM и NT, а также секущей MN равна 180о, то прямые SM и NT параллельные.

Что и требовалось доказать.

Решение второй задачи по данной теме

Задача 2:

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 54о.Найдите угол между высотой, проведённой к боковой стороне, и основанием треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 2. Чертёж к задаче 1

Дано, что CD = DE (по определению, так как треугольник CDE – равнобедренный). Угол при вершине ∠D = 54o. CF  DE.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180о, а также по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, ∠DEC = .

Рассмотрим прямоугольный треугольник СЕF. В нём сумма острых углов равна 90о. Следовательно, ∠FCE + ∠FEC = 900. Отсюда, ∠FCE = 900 - ∠FEC = 90 - 63 = 27о.

Ответ: 27о.

Решение третьей задачи по данной теме

Задача 3:

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине равным 120о проведена высота к боковой стороне. Найдите длину основания, если длина высоты равна 9 см.

Решение:      

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 3. Рисунок к задаче 3

Поскольку треугольник АСВ – равнобедренный, то, по его свойству, углы при основании равны, то есть ∠В = ∠С. Поскольку сумма углов треугольника равна 1800, найдём угол С при основании ВС. ∠С = .

Рассмотрим треугольник ВНС (∠Н = 90о, так как ВН – высота треугольника АВС). В данном треугольнике имеем катет ВН = 9 см, который лежит против угла 30о. Значит, по свойству, длина ВС равна удвоенной длине ВН. ВС = 2ВН = 2*9 = 18 (см).

Ответ: 18 см.

Решение четвёртой задачи по этой теме

Задача 4: В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А1 равны 90о. Известно, что ∠В = ∠В1. Отрезки ВD и B1D1 являются биссектрисами углов В и В1 и равны между собой. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к данной задаче.

Рис. 4. Рисунок к задаче 4

Докажем равенство треугольников АВD и A1B1D1. В данных треугольниках известно, что ВD = B1D1, а из равенства углов В и В1 следует равенство углов АВD и A1B1D1. Следовательно, прямоугольные треугольники АВD и A1B1D1 равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства указанных треугольников следует, что АВ = А1В1.

Докажем равенство треугольников АВС и А1В1С1. В данных треугольниках АВ = А1В1, а также углы В и В1 равны. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы рассмотрели основные теоретические сведения по теме «прямоугольный треугольник», ввели и доказали признаки равенства прямоугольных треугольников. Также мы решили несколько задач для закрепления теоретического материала.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Youtube (Источник).
  2. Математические этюды (Источник).
  3. Подготовка к ГИА и ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 44 (в, г), 45(в). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН. Определите длину отрезка АВ, если известно, что АН = 5 см, а угол А равен 60о.
  3. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.
  4. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам равна высоте этого треугольника.