Классы
Предметы

Обобщающий урок по теме «Треугольники». Решение задач

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Обобщающий урок по теме «Треугольники». Решение задач

На этом видеоуроке все желающие смогут изучить тему «Треугольники. Обобщающий урок. Решение задач». В ходе занятия учащиеся смогут повторить и систематизировать полученные ранее теоретические знания о треугольниках. Далее вам предстоит заняться решением типовых задач на закрепление материала.

Повторение теоретического материала

Сначала вспомним, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам. 

Рис. 1. Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

АВС = .

Вспомним второй признак равенства треугольников:

 

Рис. 2. Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников гласит, что треугольники могут быть равны по трем сторонам.

 

 

 

Рис. 3. Третий признак равенства треугольников

Подразумевается, что у данных треугольников равны все элементы, но мы доказываем равенство только трех элементов, и этого нам оказывается достаточно для утверждения равенства треугольников.

Не будем забывать о равнобедренном треугольнике – треугольнике с двумя равными сторонами. 

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

  боковые стороны треугольника, а ВС – основание треугольника. Важно заметить, что отрезок AD является и биссектрисой угла А, и медианой к стороне ВС, и высотой к стороне ВС. Немаловажно указать равенство углов .

Решение задач

Рассмотрим типовые задачи по этой теме.

Пример 1: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. Дано, что - биссектрисы. Доказать, что 

Рис. 5. Условие к примеру 1

Доказательство:

Из равенства треугольников  следует равенство всех соответствующих их элементов. В частности, , АВ = ,

а также , так как данные углы – половины равных углов .

В свете вышеуказанного, треугольники  по второму признаку. Из равенства следует, что .

Что и требовалось доказать.

Если смотреть с позиции того, что , то все соответствующие стороны и углы совместятся наложением, например, АС и , ∠АВС и ∠ и т.д. В конечном счете, и биссектрисы и совместятся, а значит, они равны.

Пример 2: Прямая  проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна  к нему. Докажите, что:

А.Каждая точка прямой равноудалена от точек А и В.

Дано: АМ = МВ, . Доказать: СА = АВ.

Б.Каждая точка, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой .

Дано: АМ = МВ, , AD = DB. Доказать: D.

Решение:

А. Выполним рисунок к задаче:

Рис. 6. Условие к примеру 2а

Поскольку АМ = МВ, ∠АМС = ∠СМВ = 90°, а сторона СМ – общая у треугольников АМС и ВМС, то данные треугольники равны. Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. В частности, АС = СВ.

Что и требовалось доказать.

Б.

Рис. 7. Условие к примеру 2б

В равнобедренном треугольнике АВD  (по определению, так как AD = DB) MD является медианой, а значит, и высотой. Поэтому , поэтому D.

Что и требовалось доказать.

Заметим, что если точка равноудалена от концов отрезка, она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку.

                       

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Справочный портал calc.ru (Источник).
  2. Признаки равенства треугольников (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 38. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Докажите, что треугольники ABЕ и ЕCA равны. Отрезки ВЕ и ОС точкой пересечения делятся пополам. Прямые АВ и АЕ, а также СЕ и АЕ перпендикулярные.

3. Докажите, что ∠САО = ∠СВО, если ОА = ОВ, а AK = BK.

4. На указанном рисунке ∠AKC = ∠BPC. Докажите, что если AP = BK, то ∠АВС = ∠ВАС.