Классы
Предметы

Окружность. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Окружность. Типовые задачи

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Окружность». Учащиеся смогут узнать строгое геометрическое определение окружности. Учитель подробно разберет решение нескольких типовых задач на построение окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение окружности и ее элементов

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.

На рисунке 1 изображена окружность.

Рис. 1. Окружность

Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Таким образом, существуют следующие обозначения:

О – центр окружности;

OM = r – радиус окружности;

OM = ON = r – радиусы окружности;

MN – хорда;

АМ – диаметр;

АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.

Решение задач

Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLM и NAM для заданных точек N и M.

Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.

Решение:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Определим основные элементы данной окружности:

О – центр окружности;

OE = OD = OA = OC – радиусы окружности;

EF, BA – хорды;

DС – диаметр.

В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.

                                                                   

Рис. 3. Круг

Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.

                                                  

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

Решение:

Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности.  Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например,  по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично,  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.

Далее докажем, что  аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.

Далее докажем, что  по третьему признаку. BD – общая сторона у треугольников, АD = CВ по доказанному утверждению в п. 2, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что .

Что и требовалось доказать.

Пример 3: отрезок МК – диаметр окружности, а РМ и РК – равные хорды. Найдите угол РОМ.

                                          

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

Решение:

По определению,   – равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК – ОМ – радиусы окружностей, то РО – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,.

Ответ: 90°.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы.

  1. Справочный портал calc.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание.

  1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
  3. Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
  4. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.